В геометрической прогрессии $$b_n$$ с положительными членами $$b_2 = 8$$; $$b_4 = 72$$. Найдите сумму первых пяти членов.

4. В геометрической прогрессии $$b_n$$ с положительными членами $$b_2 = 8$$; $$b_4 = 72$$. Найдите сумму первых пяти членов. В геометрической прогрессии `b_n` каждый член, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена на знаменатель прогрессии `q`. То есть, `b_n = b_{n-1} * q`. Из условия задачи нам даны `b_2 = 8` и `b_4 = 72`. Мы можем записать, что `b_4 = b_2 * q^2` (так как от второго члена до четвёртого два шага). Подставим известные значения и найдем `q`: `72 = 8 * q^2` `q^2 = 9` `q = \pm 3` Так как все члены прогрессии положительные, то `q = 3`. Теперь найдем первый член прогрессии `b_1`: `b_2 = b_1 * q` `8 = b_1 * 3` `b_1 = \frac{8}{3}` Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле: `S_n = \frac{b_1 * (q^n - 1)}{q - 1}` В нашем случае необходимо найти сумму первых 5 членов, то есть `S_5`: `S_5 = \frac{\frac{8}{3} * (3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{\frac{8}{3} * (243 - 1)}{2} = \frac{\frac{8}{3} * 242}{2} = \frac{8 * 242}{3 * 2} = \frac{1936}{6} = \frac{968}{3}` Ответ: Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна $$\frac{968}{3}$$.