В фирме работает 30 сотрудников, из них 25 человек владеют английским языком, а 10 — испанским. Выберите верные утверждения и запишите в ответе их номера. 1) Каждый сотрудник этой фирмы, кто владеет английским языком, владеет и испанским. 2) В этой фирме нет ни одного сотрудника, владеющего и английским, и испанским языками. 3) В этой фирме хотя бы четыре сотрудника владеют английским, но не владеют испанским языком. 4) И английским, и испанским языками в этой фирме владеют 10 сотрудников или меньше.

Решение: Для анализа задачи воспользуемся кругами Эйлера. Пусть \(A\) - множество сотрудников, владеющих английским, а \(B\) - множество сотрудников, владеющих испанским. * \(|A| = 25\) * \(|B| = 10\) * Общее количество сотрудников \(|U| = 30\) Найдем минимальное количество сотрудников, владеющих обоими языками. Предположим, что все 10 сотрудников, знающих испанский, также знают английский. Тогда 25 сотрудников знают английский, и все 10, знающие испанский, входят в эти 25. В этом случае сотрудников, знающих только английский, будет \(25 - 10 = 15\). Всего будет \(15 + 10 = 25\) сотрудников, владеющих хотя бы одним языком. Это означает, что 5 сотрудников не знают ни одного языка. Теперь найдем максимальное количество сотрудников, владеющих обоими языками. Это возможно, если у нас есть 25 сотрудников, знающих английский, и 10 сотрудников, знающих испанский. Тогда количество сотрудников, знающих оба языка, будет: \(|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|\). Так как общее количество сотрудников равно 30, то \(|A \cup B| \le 30\). Тогда \(25 + 10 - |A \cap B| \le 30\), откуда \(35 - |A \cap B| \le 30\), и \(|A \cap B| \ge 5\). Теперь рассмотрим каждое утверждение: 1) **Каждый сотрудник этой фирмы, кто владеет английским языком, владеет и испанским.** - Это неверно. Мы знаем, что минимум 15 сотрудников владеют только английским. 2) **В этой фирме нет ни одного сотрудника, владеющего и английским, и испанским языками.** - Это неверно, так как мы показали, что минимум 5 сотрудников владеют обоими языками. 3) **В этой фирме хотя бы четыре сотрудника владеют английским, но не владеют испанским языком.** - Это верно, так как мы знаем, что минимум 15 сотрудников владеют только английским. 4) **И английским, и испанским языками в этой фирме владеют 10 сотрудников или меньше.** - Это верно, так как мы показали, что от 5 до 10 сотрудников могут владеть обоими языками. Ответ: 3, 4