Правильный вариант: В этот день мы проехали шесть станций благодаря ровной дороге.
Объяснение:
В данном предложении используется родительный падеж после предлога 'благодаря', поэтому правильным будет 'ровной дороги'. 'Ровной дорогой' это творительный падеж, что не соответствует правилу.