В электрическую сеть с напряжением 180 В включены шесть резисторов по схеме, изображённой на рисунке. Определите мощность, потребляемую резистором R1.

Решение:

Для решения задачи необходимо рассчитать общее сопротивление цепи, затем общий ток, а после этого ток, протекающий через резистор \( R_1 \).

1. Расчёт сопротивления параллельных участков цепи:

Первый участок состоит из трех параллельно соединённых резисторов \( R_1 \), \( R_2 \), \( R_3 \) с одинаковым сопротивлением 30 Ом каждый.

Эквивалентное сопротивление первого участка \( R_{123} \):

\[ \frac{1}{R_{123}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} = \frac{1}{30} + \frac{1}{30} + \frac{1}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} \]\[ R_{123} = 10 \text{ Ом} \]

Второй участок состоит из двух параллельно соединённых резисторов \( R_4 \) и \( R_5 \) с сопротивлением 12 Ом каждый.

Эквивалентное сопротивление второго участка \( R_{45} \):

\[ \frac{1}{R_{45}} = \frac{1}{R_4} + \frac{1}{R_5} = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \]\[ R_{45} = 6 \text{ Ом} \]

2. Расчёт общего сопротивления цепи:

Резистор \( R_6 \) (4 Ом) соединён последовательно с эквивалентным сопротивлением второго участка \( R_{45} \). Затем вся эта часть цепи соединена последовательно с первым участком \( R_{123} \).

\[ R_{общ} = R_{123} + R_{45} + R_6 = 10 \text{ Ом} + 6 \text{ Ом} + 4 \text{ Ом} = 20 \text{ Ом} \]

3. Расчёт общего тока в цепи:

Общий ток \( I_{общ} \) определяется по закону Ома:

\[ I_{общ} = \frac{U}{R_{общ}} = \frac{180 \text{ В}}{20 \text{ Ом}} = 9 \text{ А} \]

4. Расчёт напряжения на первом участке цепи:

Напряжение \( U_{123} \) на первом участке (где находятся \( R_1, R_2, R_3 \)) равно:

\[ U_{123} = I_{общ} \cdot R_{123} = 9 \text{ А} \cdot 10 \text{ Ом} = 90 \text{ В} \]

5. Расчёт тока через резистор R1:

Так как резисторы \( R_1, R_2, R_3 \) соединены параллельно, напряжение на каждом из них одинаково и равно \( U_{123} \). Ток через резистор \( R_1 \) (\( I_1 \)) рассчитывается по закону Ома:

\[ I_1 = \frac{U_{123}}{R_1} = \frac{90 \text{ В}}{30 \text{ Ом}} = 3 \text{ А} \]

6. Расчёт мощности, потребляемой резистором R1:

Мощность \( P_1 \) вычисляется по формуле:

\[ P_1 = U_{123} \cdot I_1 = 90 \text{ В} \cdot 3 \text{ А} = 270 \text{ Вт} \]

Или, используя закон Джоуля-Ленца:

\[ P_1 = I_1^2 \cdot R_1 = (3 \text{ А})^2 \cdot 30 \text{ Ом} = 9 \text{ А}^2 \cdot 30 \text{ Ом} = 270 \text{ Вт} \]

Ответ: Мощность, потребляемая резистором R1, составляет 270 Вт.