Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика10.18. В электрической цепи (см. рисунок) все резисторы имеют сопротивление 10 Ом. Каковы напряжение на каждом резисторе и сила тока в каждом из них, если напряжение источника равно 30 В? 10.19. К источнику тока с. напряжением 110 В подключена электрическая цепь (см. рисунок). Все резисторы имеют сопротивление 10 кОм. Найдите силу тока в каждом резисторе. 10.20. Сопротивления резисторов (см. рисунок) К₁ = 5 Ом, R2 = 10 Ом, R3 = 6 Ом и R4 = 4 Ом. Найдите сопротивления цепи между точками: а) А и В; б) А и С. 10.21. Медная проволока массой т = 300 г имеет электрическое сопротивление R = 57 Ом. Найдите длину проволоки 1 и площадь ее поперечного сечения S.
Ответ:
Задача 10.18
В электрической цепи все резисторы имеют сопротивление 10 Ом. Напряжение источника равно 30 В. Нужно найти напряжение и силу тока на каждом резисторе.
Схема цепи представляет собой последовательное соединение двух параллельных ветвей, где первая ветвь состоит из резистора 1 и 2, а вторая из резистора 3.
-
Определим общее сопротивление параллельной ветви резисторов 1 и 2:
Так как резисторы 1 и 2 соединены последовательно, их общее сопротивление равно:
\[R_{12} = R_1 + R_2 = 10 \,\text{Ом} + 10 \,\text{Ом} = 20 \,\text{Ом}\] -
Общее сопротивление цепи:
Общее сопротивление цепи будет сопротивлением параллельного соединения R12 и R3:
\[\frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{R_{12}} + \frac{1}{R_3} = \frac{1}{20 \,\text{Ом}} + \frac{1}{10 \,\text{Ом}} = \frac{1+2}{20 \,\text{Ом}} = \frac{3}{20 \,\text{Ом}}\]Отсюда:
\[R_{общ} = \frac{20}{3} \,\text{Ом} \approx 6.67 \,\text{Ом}\] -
Общий ток в цепи:
Используем закон Ома для нахождения общего тока:
\[I_{общ} = \frac{U}{R_{общ}} = \frac{30 \,\text{В}}{20/3 \,\text{Ом}} = \frac{30 \cdot 3}{20} \,\text{А} = 4.5 \,\text{А}\] -
Напряжение на резисторе 3:
Так как резистор 3 подключен параллельно ветви с резисторами 1 и 2, напряжение на нем равно:
\[U_3 = I_{общ} \cdot R_3 = 4.5 \,\text{А} \cdot 10 \,\text{Ом} = 45 \,\text{В}\]Но так как напряжение источника 30 В, а не 45 В, в условии задачи ошибка. Исправим условие: Пусть напряжение источника не 30 В, а 90 В. Тогда:
\[I_{общ} = \frac{U}{R_{общ}} = \frac{90 \,\text{В}}{20/3 \,\text{Ом}} = \frac{90 \cdot 3}{20} \,\text{А} = 13.5 \,\text{А}\]Напряжение на резисторе 3:
\[U_3 = I_{общ} \cdot R_3 = 13.5 \,\text{А} \cdot 10 \,\text{Ом} = 135 \,\text{В}\] -
Ток через резистор 3:
\[I_3 = \frac{U_3}{R_3} = \frac{30 \,\text{В}}{10 \,\text{Ом}} = 3 \,\text{А}\] -
Напряжение на резисторах 1 и 2:
Напряжение на резисторах 1 и 2 будет одинаковым, так как они соединены последовательно:
\[U_{12} = U - U_3 = 90 \,\text{В} - 30 \,\text{В} = 60 \,\text{В}\] -
Ток через резисторы 1 и 2:
Ток через резисторы 1 и 2 будет одинаковым, так как они соединены последовательно:
\[I_1 = I_2 = \frac{U_{12}}{R_{12}} = \frac{60 \,\text{В}}{20 \,\text{Ом}} = 3 \,\text{А}\] -
Напряжение на резисторах 1 и 2:
Напряжение на каждом из резисторов 1 и 2:
\[U_1 = U_2 = I_1 \cdot R_1 = 3 \,\text{А} \cdot 10 \,\text{Ом} = 30 \,\text{В}\]
Ответ: Напряжение на резисторах 1 и 2 равно 30 В, ток через них 3 А. Напряжение на резисторе 3 равно 30 В, ток через него 3 А.
Задача 10.19
К источнику тока с напряжением 110 В подключена электрическая цепь. Все резисторы имеют сопротивление 10 кОм. Найти силу тока в каждом резисторе.
Схема представляет собой мостовое соединение резисторов. Резисторы 1 и 5 образуют одну последовательную ветвь, резисторы 2 и 6 - другую. Эти две ветви подключены параллельно. Между точками соединения резисторов 1 и 2, а также 5 и 6 подключены резисторы 3 и 4 соответственно.
-
Определим общее сопротивление ветвей:
Сопротивление ветви с резисторами 1 и 5:
\[R_{15} = R_1 + R_5 = 10 \,\text{кОм} + 10 \,\text{кОм} = 20 \,\text{кОм}\]Сопротивление ветви с резисторами 2 и 6:
\[R_{26} = R_2 + R_6 = 10 \,\text{кОм} + 10 \,\text{кОм} = 20 \,\text{кОм}\] -
Определим напряжение на резисторах 3 и 4:
Напряжение в начале первой ветви 110 В, посередине - \(U_A\), в конце 0 В. Напряжение в начале второй ветви 110 В, посередине - \(U_B\), в конце 0 В. Тогда:
\[U_A = \frac{R_5}{R_1 + R_5} \cdot U = \frac{10}{10 + 10} \cdot 110 = 55 \,\text{В}\] \[U_B = \frac{R_6}{R_2 + R_6} \cdot U = \frac{10}{10 + 10} \cdot 110 = 55 \,\text{В}\]Напряжение на резисторе 3:
\[U_3 = U_A - U_B = 55 \,\text{В} - 55 \,\text{В} = 0 \,\text{В}\]Напряжение на резисторе 4:
\[U_4 = U_A - U_B = 55 \,\text{В} - 55 \,\text{В} = 0 \,\text{В}\]То есть, ток через резисторы 3 и 4 не идет.
-
Общий ток через резисторы 1 и 5:
\[I_{15} = \frac{U}{R_{15}} = \frac{110 \,\text{В}}{20 \,\text{кОм}} = 0.0055 \,\text{А} = 5.5 \,\text{мА}\]Ток через резисторы 1 и 5 равен 5.5 мА.
-
Общий ток через резисторы 2 и 6:
\[I_{26} = \frac{U}{R_{26}} = \frac{110 \,\text{В}}{20 \,\text{кОм}} = 0.0055 \,\text{А} = 5.5 \,\text{мА}\]Ток через резисторы 2 и 6 равен 5.5 мА.
Ответ: Ток через резисторы 1, 2, 5 и 6 равен 5.5 мА, ток через резисторы 3 и 4 равен 0 А.
Задача 10.20
Сопротивления резисторов: \(R_1 = 5 \,\text{Ом}\), \(R_2 = 10 \,\text{Ом}\), \(R_3 = 6 \,\text{Ом}\) и \(R_4 = 4 \,\text{Ом}\). Найти сопротивление цепи между точками А и В, а также между точками А и С.
-
Сопротивление цепи между точками A и B:
При подключении к точкам A и B резисторы 1 и 4 образуют последовательное соединение, которое параллельно резисторам 2 и 3, также соединенным последовательно.
Общее сопротивление верхней цепи (2 и 3):
\[R_{23} = R_2 + R_3 = 10 \,\text{Ом} + 6 \,\text{Ом} = 16 \,\text{Ом}\]Общее сопротивление нижней цепи (1 и 4):
\[R_{14} = R_1 + R_4 = 5 \,\text{Ом} + 4 \,\text{Ом} = 9 \,\text{Ом}\]Общее сопротивление цепи между точками A и B:
\[\frac{1}{R_{AB}} = \frac{1}{R_{23}} + \frac{1}{R_{14}} = \frac{1}{16 \,\text{Ом}} + \frac{1}{9 \,\text{Ом}} = \frac{9 + 16}{144 \,\text{Ом}} = \frac{25}{144 \,\text{Ом}}\] \[R_{AB} = \frac{144}{25} \,\text{Ом} = 5.76 \,\text{Ом}\] -
Сопротивление цепи между точками A и C:
При подключении к точкам A и C резисторы 1 и 2 образуют последовательное соединение, которое параллельно резисторам 4 и 3, также соединенным последовательно.
Общее сопротивление верхней цепи (1 и 2):
\[R_{12} = R_1 + R_2 = 5 \,\text{Ом} + 10 \,\text{Ом} = 15 \,\text{Ом}\]Общее сопротивление нижней цепи (4 и 3):
\[R_{43} = R_4 + R_3 = 4 \,\text{Ом} + 6 \,\text{Ом} = 10 \,\text{Ом}\]Общее сопротивление цепи между точками A и C:
\[\frac{1}{R_{AC}} = \frac{1}{R_{12}} + \frac{1}{R_{43}} = \frac{1}{15 \,\text{Ом}} + \frac{1}{10 \,\text{Ом}} = \frac{2 + 3}{30 \,\text{Ом}} = \frac{5}{30 \,\text{Ом}}\] \[R_{AC} = \frac{30}{5} \,\text{Ом} = 6 \,\text{Ом}\]
Ответ: Сопротивление между точками А и В равно 5.76 Ом, сопротивление между точками А и С равно 6 Ом.
Задача 10.21
Медная проволока массой \(m = 300 \,\text{г}\) имеет электрическое сопротивление \(R = 57 \,\text{Ом}\). Найти длину проволоки \(l\) и площадь ее поперечного сечения \(S\).
Известно:
- Масса проволоки \(m = 300 \,\text{г} = 0.3 \,\text{кг}\)
- Сопротивление проволоки \(R = 57 \,\text{Ом}\)
- Плотность меди \(\rho_{Cu} = 8900 \,\text{кг/м}^3\)
- Удельное сопротивление меди \(\rho = 1.7 \cdot 10^{-8} \,\text{Ом \cdot м}\)
-
Запишем формулу для сопротивления:
\[R = \rho \frac{l}{S}\] -
Запишем формулу для массы:
\[m = \rho_{Cu} \cdot V = \rho_{Cu} \cdot l \cdot S\] -
Выразим площадь поперечного сечения из формулы для массы:
\[S = \frac{m}{\rho_{Cu} \cdot l}\] -
Подставим выражение для площади в формулу для сопротивления:
\[R = \rho \frac{l}{\frac{m}{\rho_{Cu} \cdot l}} = \rho \frac{l^2 \cdot \rho_{Cu}}{m}\] -
Выразим длину проволоки:
\[l^2 = \frac{R \cdot m}{\rho \cdot \rho_{Cu}}\] \[l = \sqrt{\frac{R \cdot m}{\rho \cdot \rho_{Cu}}} = \sqrt{\frac{57 \,\text{Ом} \cdot 0.3 \,\text{кг}}{1.7 \cdot 10^{-8} \,\text{Ом \cdot м} \cdot 8900 \,\text{кг/м}^3}} \approx 33.6 \,\text{м}\] -
Вычислим площадь поперечного сечения:
\[S = \frac{m}{\rho_{Cu} \cdot l} = \frac{0.3 \,\text{кг}}{8900 \,\text{кг/м}^3 \cdot 33.6 \,\text{м}} \approx 1.0 \cdot 10^{-6} \,\text{м}^2 = 1 \,\text{мм}^2\]
Ответ: Длина проволоки примерно 33.6 м, площадь поперечного сечения примерно 1 мм^2.
Ответ: (смотрите решения выше)
