В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 точка Е — середина ребра А1В1. Найдите синус угла между прямой АЕ и плоскостью BDD1. 2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у которого АB = 4, BC = 6, CС₁ = 4, найдите тангенс угла между плоскостью АВС и прямой EF, проходящей через середины ребер АА1 и C1D1. Для базы № 13.18, 22.

Привет! Разберём эти задачи по геометрии.

Задача 1:

В единичном кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) точка \(E\) — середина ребра \(A_1B_1\). Нужно найти синус угла между прямой \(AE\) и плоскостью \(BDD_1\).

1. Определим координаты точек:
• \(A(0; 0; 0)\)
• \(B(1; 0; 0)\)
• \(D(0; 1; 0)\)
• \(D_1(0; 1; 1)\)
• \(A_1(0; 0; 1)\)
• \(B_1(1; 0; 1)\)
• \(E\) - середина \(A_1B_1\), значит \(E(\frac{1}{2}; 0; 1)\)
2. Найдем вектор \(\vec{AE}\):
• \(\vec{AE} = E - A = (\frac{1}{2}; 0; 1) - (0; 0; 0) = (\frac{1}{2}; 0; 1)\)
3. Найдем нормаль к плоскости \(BDD_1\):
• Вектор \(\vec{BD} = D - B = (0; 1; 0) - (1; 0; 0) = (-1; 1; 0)\)
• Вектор \(\vec{DD_1} = D_1 - D = (0; 1; 1) - (0; 1; 0) = (0; 0; 1)\)
• Нормаль \(\vec{n}\) — векторное произведение \(\vec{BD}\) и \(\vec{DD_1}\):
• \[\vec{n} = \vec{BD} \times \vec{DD_1} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (1; 1; 0)\]
4. Угол \(\phi\) между прямой \(AE\) и плоскостью \(BDD_1\) найдем через синус угла между вектором \(\vec{AE}\) и нормалью \(\vec{n}\):
5. \[\sin(\theta) = \frac{|\vec{AE} \cdot \vec{n}|}{|\vec{AE}| |\vec{n}|}\]
6. \[\vec{AE} \cdot \vec{n} = (\frac{1}{2}; 0; 1) \cdot (1; 1; 0) = \frac{1}{2} \times 1 + 0 \times 1 + 1 \times 0 = \frac{1}{2}\]
7. \[|\vec{AE}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}\]
8. \[|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}\]
9. \[\sin(\theta) = \frac{|\frac{1}{2}|}{\frac{\sqrt{5}}{2} \sqrt{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}\]

Ответ: Синус угла между прямой \(AE\) и плоскостью \(BDD_1\) равен \(\frac{\sqrt{10}}{10}\).

Задача 2:

В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) дано: \(AB = 4\), \(BC = 6\), \(CC_1 = 4\). Нужно найти тангенс угла между плоскостью \(ABC\) и прямой \(EF\), проходящей через середины рёбер \(AA_1\) и \(C_1D_1\).

1. Определим координаты точек:
• \(A(0; 0; 0)\)
• \(B(4; 0; 0)\)
• \(C(4; 6; 0)\)
• \(D(0; 6; 0)\)
• \(A_1(0; 0; 4)\)
• \(C_1(4; 6; 4)\)
2. Найдем координаты точек \(E\) и \(F\):
• \(E\) — середина \(AA_1\), значит \(E(0; 0; 2)\)
• \(F\) — середина \(C_1D_1\). Найдем координаты точки \(D_1(0; 6; 4)\), тогда \(F(\frac{4+0}{2}; \frac{6+6}{2}; \frac{4+4}{2}) = (2; 6; 4)\)
3. Найдем вектор \(\vec{EF}\):
• \(\vec{EF} = F - E = (2; 6; 4) - (0; 0; 2) = (2; 6; 2)\)
4. Найдем нормаль к плоскости \(ABC\):
• Нормалью является вектор \(\vec{n} = (0; 0; 1)\) (т.к. плоскость \(ABC\) лежит в плоскости \(XY\))
5. Угол \(\phi\) между плоскостью \(ABC\) и прямой \(EF\) найдем через синус угла между вектором \(\vec{EF}\) и нормалью \(\vec{n}\):
6. \[\sin(\theta) = \frac{|\vec{EF} \cdot \vec{n}|}{|\vec{EF}| |\vec{n}|}\]
7. \[\vec{EF} \cdot \vec{n} = (2; 6; 2) \cdot (0; 0; 1) = 2 \times 0 + 6 \times 0 + 2 \times 1 = 2\]
8. \[|\vec{EF}| = \sqrt{2^2 + 6^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 36 + 4} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11}\]
9. \[|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1\]
10. \[\sin(\theta) = \frac{|2|}{2\sqrt{11} \times 1} = \frac{1}{\sqrt{11}}\]
11. Найдем тангенс угла \(\phi\):
12. \[\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\sqrt{1 - \sin^2(\theta)}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{11}}}{\sqrt{1 - \frac{1}{11}}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{11}}}{\sqrt{\frac{10}{11}}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}\]

Ответ: Тангенс угла между плоскостью \(ABC\) и прямой \(EF\) равен \(\frac{\sqrt{10}}{10}\).