В доме всего 14 квартир с номерами от 1 до 14. В каждой квартире живёт не менее 1 и не более 4 человек. В квартирах с 1-й по 12-ю включительно живёт суммарно 14 человек, а в квартирах с 11-й по 14 -ю включительно живёт суммарно 12 человек. Сколько всего человек живут в этом доме?

Решение:

Обозначим количество человек в квартире \(i\) как \(x_i\). По условию, \(1 \le x_i \le 4\) для всех \(i = 1, ..., 14\).

Дано:

• Сумма человек в квартирах с 1-й по 12-ю: \( \sum_{i=1}^{12} x_i = 14 \)
• Сумма человек в квартирах с 11-й по 14-ю: \( \sum_{i=11}^{14} x_i = 12 \)

Найдём сумму людей во всех квартирах. Для этого сложим две известные суммы, но обратим внимание, что люди в квартирах с 11-й по 12-ю учтены дважды. Поэтому нужно вычесть их сумму один раз.

Сумма всех квартир = (Сумма с 1-й по 12-ю) + (Сумма с 11-й по 14-ю) - (Сумма с 11-й по 12-ю)

\( \sum_{i=1}^{14} x_i = \sum_{i=1}^{12} x_i + \sum_{i=11}^{14} x_i - \sum_{i=11}^{12} x_i \)

Мы не знаем \( \sum_{i=11}^{12} x_i \) напрямую. Однако, мы можем выразить общую сумму иначе:

Общая сумма = (Сумма с 1-й по 10-ю) + (Сумма с 11-й по 14-ю)

\( \sum_{i=1}^{14} x_i = \sum_{i=1}^{10} x_i + \sum_{i=11}^{14} x_i \)

Также:

Общая сумма = (Сумма с 1-й по 12-ю) + (Сумма с 13-й по 14-ю)

\( \sum_{i=1}^{14} x_i = \sum_{i=1}^{12} x_i + \sum_{i=13}^{14} x_i \)

Из условия \( \sum_{i=1}^{12} x_i = 14 \) и \( \sum_{i=11}^{14} x_i = 12 \).

Рассмотрим сумму \( \sum_{i=1}^{14} x_i \). Мы можем разбить её так:

\( \sum_{i=1}^{14} x_i = \sum_{i=1}^{10} x_i + \sum_{i=11}^{12} x_i + \sum_{i=13}^{14} x_i \)

Из \( \sum_{i=1}^{12} x_i = 14 \) следует \( \sum_{i=1}^{10} x_i + \sum_{i=11}^{12} x_i = 14 \).

Из \( \sum_{i=11}^{14} x_i = 12 \) следует \( \sum_{i=11}^{12} x_i + \sum_{i=13}^{14} x_i = 12 \).

Сложим оба уравнения:

\( (\sum_{i=1}^{10} x_i + \sum_{i=11}^{12} x_i) + (\sum_{i=11}^{12} x_i + \sum_{i=13}^{14} x_i) = 14 + 12 \)

\( \sum_{i=1}^{10} x_i + 2\sum_{i=11}^{12} x_i + \sum_{i=13}^{14} x_i = 26 \)

Это не даёт прямого решения.

Попробуем иначе:

Пусть \( S_{1-12} = \sum_{i=1}^{12} x_i = 14 \)

Пусть \( S_{11-14} = \sum_{i=11}^{14} x_i = 12 \)

Общее количество человек \( S_{1-14} = \sum_{i=1}^{14} x_i \)

\( S_{1-14} = S_{1-10} + S_{11-14} \)

\( S_{1-14} = S_{1-12} + S_{13-14} \)

Из \( S_{11-14} = S_{11-12} + S_{13-14} = 12 \), следует \( S_{13-14} = 12 - S_{11-12} \).

Подставим во второе выражение для \( S_{1-14} \):

\( S_{1-14} = 14 + (12 - S_{11-12}) = 26 - S_{11-12} \).

Теперь рассмотрим \( S_{1-12} = S_{1-10} + S_{11-12} = 14 \), значит \( S_{1-10} = 14 - S_{11-12} \).

Подставим в первое выражение для \( S_{1-14} \):

\( S_{1-14} = (14 - S_{11-12}) + 12 = 26 - S_{11-12} \).

Таким образом, \( S_{1-14} = 26 - S_{11-12} \).

Мы знаем, что в каждой квартире живёт от 1 до 4 человек. Следовательно, \( S_{11-12} \) (сумма людей в двух квартирах) может быть от \( 1+1=2 \) до \( 4+4=8 \).

По условию, \( \sum_{i=11}^{14} x_i = 12 \). Это значит, что среднее количество человек в этих 4 квартирах \( 12/4 = 3 \).

По условию, \( \sum_{i=1}^{12} x_i = 14 \). Это значит, что среднее количество человек в этих 12 квартирах \( 14/12 = 7/6 \), что меньше 1, а это невозможно, так как в каждой квартире живёт не менее 1 человека.

Перечитаем условие.

В доме всего 14 квартир. В каждой квартире живёт не менее 1 и не более 4 человек. В квартирах с 1-й по 12-ю включительно живёт суммарно 14 человек. А в квартирах с 11-й по 14-ю включительно живёт суммарно 12 человек.

Пусть \( X_1 \) - сумма людей в квартирах с 1 по 12. \( X_1 = 14 \).

Пусть \( X_2 \) - сумма людей в квартирах с 11 по 14. \( X_2 = 12 \).

Всего квартир 14. Всего людей \( S = \sum_{i=1}^{14} x_i \).

\( X_1 = x_1 + x_2 + ... + x_{10} + x_{11} + x_{12} = 14 \)

\( X_2 = x_{11} + x_{12} + x_{13} + x_{14} = 12 \)

Сложим \( X_1 \) и \( X_2 \):

\( X_1 + X_2 = (x_1 + ... + x_{10} + x_{11} + x_{12}) + (x_{11} + x_{12} + x_{13} + x_{14}) = 14 + 12 = 26 \)

\( x_1 + ... + x_{10} + 2(x_{11} + x_{12}) + x_{13} + x_{14} = 26 \)

Заметим, что \( S = x_1 + ... + x_{10} + x_{11} + x_{12} + x_{13} + x_{14} \).

Мы можем переписать \( X_1 + X_2 \) как:

\( (x_1 + ... + x_{14}) + (x_{11} + x_{12}) = 26 \)

\( S + (x_{11} + x_{12}) = 26 \)

\( S = 26 - (x_{11} + x_{12}) \).

Теперь нам нужно найти \( x_{11} + x_{12} \).

Из \( X_2 = x_{11} + x_{12} + x_{13} + x_{14} = 12 \). Так как \( x_{13} \) и \( x_{14} \) минимум по 1 человеку, то \( x_{11} + x_{12} \) максимум \( 12 - 1 - 1 = 10 \). И \( x_{11} \) и \( x_{12} \) максимум по 4 человека, то \( x_{11} + x_{12} \) минимум \( 1+1=2 \).

Из \( X_1 = x_1 + ... + x_{10} + x_{11} + x_{12} = 14 \). Так как \( x_1 \) ... \( x_{10} \) минимум по 1 человеку (10 человек), то \( x_{11} + x_{12} \) максимум \( 14 - 10 = 4 \).

У нас есть два ограничения на \( x_{11} + x_{12} \):

1. \( x_{11} + x_{12} \notin [2, 10] \)
2. \( x_{11} + x_{12} \notin [2, 4] \)

Объединяя, получаем, что \( x_{11} + x_{12} \) может быть 2, 3 или 4.

Проверим эти варианты:

Случай 1: \( x_{11} + x_{12} = 2 \)

\( S = 26 - 2 = 24 \).

Проверим, возможно ли это:

\( x_{11} + x_{12} = 2 \) (например, \( x_{11}=1, x_{12}=1 \)).

\( X_1 = x_1 + ... + x_{10} + 2 = 14 \) \( \Rightarrow \sum_{i=1}^{10} x_i = 12 \). Среднее в этих 10 квартирах \( 12/10 = 1.2 \). Это возможно (например, 8 квартир по 1 человеку, 2 квартиры по 2 человека).

\( X_2 = 2 + x_{13} + x_{14} = 12 \) \( \Rightarrow x_{13} + x_{14} = 10 \). Это невозможно, так как максимум \( 4+4=8 \).

Случай 2: \( x_{11} + x_{12} = 3 \)

\( S = 26 - 3 = 23 \).

Проверим, возможно ли это:

\( x_{11} + x_{12} = 3 \) (например, \( x_{11}=1, x_{12}=2 \) или \( x_{11}=2, x_{12}=1 \)).

\( X_1 = x_1 + ... + x_{10} + 3 = 14 \) \( \Rightarrow \sum_{i=1}^{10} x_i = 11 \). Среднее в этих 10 квартирах \( 11/10 = 1.1 \). Это возможно (например, 9 квартир по 1 человеку, 1 квартира на 2 человека).

\( X_2 = 3 + x_{13} + x_{14} = 12 \) \( \Rightarrow x_{13} + x_{14} = 9 \). Это невозможно, так как максимум \( 4+4=8 \).

Случай 3: \( x_{11} + x_{12} = 4 \)

\( S = 26 - 4 = 22 \).

Проверим, возможно ли это:

\( x_{11} + x_{12} = 4 \) (например, \( x_{11}=2, x_{12}=2 \) или \( x_{11}=1, x_{12}=3 \) и т.д.).

\( X_1 = x_1 + ... + x_{10} + 4 = 14 \) \( \Rightarrow \sum_{i=1}^{10} x_i = 10 \). Среднее в этих 10 квартирах \( 10/10 = 1 \). Это возможно, если в каждой из этих 10 квартир живёт ровно 1 человек.

\( X_2 = 4 + x_{13} + x_{14} = 12 \) \( \Rightarrow x_{13} + x_{14} = 8 \). Это возможно, если в квартирах \( x_{13}=4 \) и \( x_{14}=4 \).

Таким образом, вариант \( x_{11} + x_{12} = 4 \) приводит к возможным значениям для всех квартир.

Мы нашли, что общее количество человек \( S = 22 \).

Ответ: 22 человека.