1. В четырёхугольнике ABCD вписана окружность. Найдите AD, если АВ = 13 см, ВС = 11 см, CD = 6 см. 2. Можно ли вписать окружность в четырёхугольник ABCD, если: а) АВ = 7 см, ВС = 12 см, CD = 9 см, AD = 6 см; б) АВ = 8 см, ВС = 13 см, CD = 11 см, AD = 6 см? 3. Основания трапеции, в которую можно вписать окружность, равны 12 см и 20 см. Найдите периметр трапеции.

Ответ:

1. В четырехугольнике, в который вписана окружность, суммы противоположных сторон равны. То есть: \[AB + CD = BC + AD\] Подставляем известные значения: \[13 + 6 = 11 + AD\] Решаем уравнение: \[19 = 11 + AD\] \[AD = 19 - 11\] \[AD = 8\]

Ответ: AD = 8 см

2. Для того чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных сторон были равны. а) Проверим для случая AB = 7 см, BC = 12 см, CD = 9 см, AD = 6 см: \[AB + CD = 7 + 9 = 16\] \[BC + AD = 12 + 6 = 18\] Так как суммы не равны (16 ≠ 18), то нельзя вписать окружность.

Ответ: нельзя вписать окружность.

б) Проверим для случая AB = 8 см, BC = 13 см, CD = 11 см, AD = 6 см: \[AB + CD = 8 + 11 = 19\] \[BC + AD = 13 + 6 = 19\] Так как суммы равны (19 = 19), то можно вписать окружность.

Ответ: можно вписать окружность.

3. Основания трапеции равны 12 см и 20 см. Так как в трапецию можно вписать окружность, она является равнобедренной. Суммы противоположных сторон равны, то есть сумма оснований равна сумме боковых сторон. Пусть боковая сторона равна x: \[12 + 20 = x + x\] \[32 = 2x\] \[x = 16\] Боковая сторона трапеции равна 16 см. Теперь найдем периметр трапеции: \[P = 12 + 20 + 16 + 16 = 64\]

Ответ: периметр трапеции равен 64 см.

Проверка за 10 секунд:

Уровень Эксперт: Запомни, что свойство равенства сумм противоположных сторон — это ключевой признак четырехугольника, в который можно вписать окружность!