В чем заключается формула Ньютона-Лейбница и как она применяется при вычислении определенного интеграла?

Формула Ньютона-Лейбница

Формула Ньютона-Лейбница (также известная как Основная теорема анализа) устанавливает связь между дифференцированием и интегрированием. Она гласит, что если \( F(x) \) является первообразной для функции \( f(x) \) на интервале \( [a, b] \), то определенный интеграл от \( f(x) \) по этому интервалу равен разности значений первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования:

\[ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \]

Применение при вычислении определенного интеграла

Эта формула является основным инструментом для вычисления определенных интегралов. Процесс выглядит следующим образом:

1. Найти первообразную: Сначала необходимо найти любую первообразную \( F(x) \) для подынтегральной функции \( f(x) \).
2. Вычислить значения первообразной: Затем вычисляются значения найденной первообразной на верхнем пределе \( b \) и на нижнем пределе \( a \) интегрирования.
3. Найти разность: Из значения первообразной на верхнем пределе вычитается значение первообразной на нижнем пределе: \( F(b) - F(a) \).

Пример: Вычислим интеграл \( \int_{1}^{2} x^2 dx \).

1. Первообразная для \( f(x) = x^2 \) есть \( F(x) = \frac{x^3}{3} \).
2. Вычисляем значения: \( F(2) = \frac{2^3}{3} = \frac{8}{3} \), \( F(1) = \frac{1^3}{3} = \frac{1}{3} \).
3. Находим разность: \( F(2) - F(1) = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \).

Таким образом, формула Ньютона-Лейбница позволяет свести задачу вычисления определенного интеграла к нахождению первообразной и вычислению ее значений в конечных точках интервала.

Ответ: Формула Ньютона-Лейбница \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \) применяется для вычисления определенного интеграла путем нахождения первообразной \( F(x) \) и вычисления разности \( F(b) - F(a) \).