В боковую поверхность цилиндрического сосуда, установленного на столе, вставлен на высоте h₁ = 10 см от его дна капилляр с внутренним диаметром d = 2 мм и длиной l = 1 см. В сосуде поддерживается постоянный уровень машинного масла (плотность ρ = 0,9 г/см³, динамическая вязкость η = 0,1 Па·с) на высоте h₂ = 70 см выше капилляра. Определите расстояние по горизонтали от конца капилляра до места, куда попадает струя масла.

Решение:

1. Переведем все величины в СИ:
• Диаметр капилляра: \( d = 2 \text{ мм} = 0,002 \text{ м} \)
• Длина капилляра: \( l = 1 \text{ см} = 0,01 \text{ м} \)
• Плотность масла: \( \rho = 0,9 \text{ г/см}^3 = 900 \text{ кг/м}^3 \)
• Вязкость масла: \( \eta = 0,1 \text{ Па} · \text{с} \)
• Высота уровня масла над капилляром: \( h_2 = 70 \text{ см} = 0,7 \text{ м} \)
• Высота капилляра от дна: \( h_1 = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м} \)
2. Найдем скорость истечения масла из капилляра, используя закон Пуазейля для расхода \( Q \) и формулу для скорости \( v \):
• Расход \( Q = \frac{\pi d^4 \Delta P}{128 \eta l} \)
• Площадь сечения капилляра \( S = \frac{\pi d^2}{4} \)
• Скорость \( v = \frac{Q}{S} = \frac{\pi d^4 \Delta P}{128 \eta l} \cdot \frac{4}{\pi d^2} = \frac{d^2 \Delta P}{32 \eta l} \)
• Давление \( \Delta P \) создается столбом масла высотой \( h_2 \): \( \Delta P = \rho g h_2 \)
• Подставим \( \Delta P \) в формулу для скорости:

\[ v = \frac{d^2 \rho g h_2}{32 \eta l} \]

\[ v = \frac{(0,002 \text{ м})^2 \cdot 900 \text{ кг/м}^3 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 0,7 \text{ м}}{32 \cdot 0,1 \text{ Па} · \text{с} \cdot 0,01 \text{ м}} \]

\[ v = \frac{0,000004 \text{ м}^2 \cdot 900 \text{ кг/м}^3 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 0,7 \text{ м}}{0,32 \text{ Па} · \text{с} \u00B7 \text{м}} = \frac{0,024696}{0,32} \text{ м/с} \approx 0,077 \text{ м/с} \]

3. Найдем время полета струи масла до пола. Падение струи является равноускоренным движением под действием силы тяжести. Высота падения равна \( h_1 \).

\[ h_1 = \frac{1}{2} g t^2 \]

\[ t = \sqrt{\frac{2 h_1}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0,1 \text{ м}}{9,8 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{0,2}{9,8}} \text{ с} \approx \sqrt{0,0204} \text{ с} \approx 0,143 \text{ с} \]

4. Найдем расстояние по горизонтали, которое пролетит струя масла за время \( t \).

\[ L = v \cdot t \]

\[ L \approx 0,077 \text{ м/с} \cdot 0,143 \text{ с} \approx 0,011 \text{ м} \]

5. Переведем результат обратно в сантиметры.

\[ L \approx 0,011 \text{ м} \cdot 100 \text{ см/м} = 1,1 \text{ см} \]

Ответ: 1,1 см.