В амфитеатре 16 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В четвёртом ряду 23 места, а в восьмом ряду 35 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение:

Обозначим количество мест в \( n \)-ом ряду как \( a_n \). Так как количество мест в каждом следующем ряду увеличивается на одно и то же число, последовательность мест является арифметической прогрессией.

По условию задачи:

• \( a_4 = 23 \)
• \( a_8 = 35 \)
• \( n = 16 \) (общее количество рядов)

Формула \( n \)-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + d(n-1) \), где \( a_1 \) — первый член прогрессии, \( d \) — разность прогрессии.

Используем данные из условия для составления системы уравнений:

1. \( a_4 = a_1 + d(4-1) \) => \( 23 = a_1 + 3d \)
2. \( a_8 = a_1 + d(8-1) \) => \( 35 = a_1 + 7d \)

Вычтем первое уравнение из второго:

\[ (35 - 23) = (a_1 + 7d) - (a_1 + 3d) \]\[ 12 = 4d \]\[ d = \frac{12}{4} = 3 \]

Теперь найдём \( a_1 \), подставив \( d=3 \) в первое уравнение:

\[ 23 = a_1 + 3(3) \]\[ 23 = a_1 + 9 \]\[ a_1 = 23 - 9 = 14 \]

Нам нужно найти количество мест в последнем, 16-м ряду, то есть \( a_{16} \):

\[ a_{16} = a_1 + d(16-1) \]\[ a_{16} = 14 + 3(15) \]\[ a_{16} = 14 + 45 \]\[ a_{16} = 59 \]

Ответ: 59