В амфитеатре 14 рядов, причем в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 27 мест, а в восьмом ряду 36 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение:

Это задача на арифметическую прогрессию.

1. Обозначим число мест в \( n \)-м ряду как \( a_n \). Разность прогрессии \( d \) — это число, на которое увеличивается количество мест в каждом следующем ряду.
2. Из условия известно, что \( a_5 = 27 \) и \( a_8 = 36 \).
3. Воспользуемся формулой \( n \)-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1)d \).
4. Запишем уравнения для данных:
• \( a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d = 27 \)
• \( a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d = 36 \)
5. Вычтем первое уравнение из второго:
• \( (a_1 + 7d) - (a_1 + 4d) = 36 - 27 \)
• \( 3d = 9 \)
• \( d = 3 \) (места)
6. Теперь найдём \( a_1 \), подставив \( d=3 \) в первое уравнение:
• \( a_1 + 4(3) = 27 \)
• \( a_1 + 12 = 27 \)
• \( a_1 = 15 \) (мест)
7. Нам нужно найти количество мест в последнем, 14-м ряду, то есть \( a_{14} \):
• \( a_{14} = a_1 + (14-1)d = 15 + 13(3) = 15 + 39 = 54 \) (места)

Ответ: 54 места