14. В амфитеатре 14 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и тоже число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 31 место, а в двенадцатом ряду 59 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Пусть $$a_n$$ - количество мест в $$n$$-м ряду. Из условия задачи известно, что это арифметическая прогрессия. Известно, что $$a_5 = 31$$ и $$a_{12} = 59$$. Нужно найти $$a_{14}$$. Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии: $$a_n = a_1 + (n-1)d$$, где $$a_1$$ - первый член, а $$d$$ - разность. Имеем два уравнения: $$a_5 = a_1 + 4d = 31$$ (1) $$a_{12} = a_1 + 11d = 59$$ (2) Вычтем уравнение (1) из уравнения (2): $$(a_1 + 11d) - (a_1 + 4d) = 59 - 31$$ $$7d = 28$$ $$d = 4$$ Теперь подставим значение $$d$$ в уравнение (1): $$a_1 + 4(4) = 31$$ $$a_1 + 16 = 31$$ $$a_1 = 31 - 16 = 15$$ Теперь найдем $$a_{14}$$: $$a_{14} = a_1 + 13d = 15 + 13(4) = 15 + 52 = 67$$ Ответ: 67