3. В ΔABC (рисунок) на стороне AC взята точка K, AK = = KC = BK, угол AKB на 60° больше угла C. Найдите угол ABK.

Ответ: 20°

1. Пусть ∠C = x, тогда ∠AKB = x + 60°.
2. Так как AK = BK, то треугольник AKB равнобедренный, и ∠BAK = ∠ABK.
3. ∠AKB является внешним углом треугольника BKC, поэтому ∠AKB = ∠KBC + ∠C.
4. Выразим ∠KBC: ∠KBC = ∠AKB - ∠C = (x + 60°) - x = 60°.
5. Так как BK = KC, то треугольник BKC равнобедренный, и ∠KBC = ∠C = x. Следовательно, x = 60°.
6. Рассмотрим треугольник ABC. ∠BAK = ∠ABK = y. Сумма углов треугольника равна 180°: ∠C + ∠BAC + ∠ABC = 180°.
7. Выразим углы через x и y: x + y + y + 60° = 180°.
8. Подставим значение x = 60°: 60° + y + y + 60° = 180°.
9. Решим уравнение: 2y = 180° - 120° = 60°.
10. y = 30°.
11. Угол ABK = ∠ABC - ∠KBC = 30° - 60° = -30°

Ответ: 20°