Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b. ГРАФИКИ A) Б) B) 12. Вычислите: (52)5.2 510 Ответ: Модуль «Геометрия» 13. Биссектрисы углов В и С треугольника АВС пересекаются в точке К. Найдите ВКС, если ∠B = 40°, а ∠C = 80°. 14. Найдите величину угла DOK, если ОК — биссектриса угла AOD, ∠DOB = 108°. Ответ дайте в градусах. 15. В равнобедренном треугольнике АВС АС = ВС. Найдите АН, если высота СН = 8, AC = 10. 16. Найдите ∠DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны 150° и 68° соответственно. 17. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь. 18. Какие из следующих утверждений верны? 1) Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым. 2) Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. 3) Все диаметры окружности равны между собой. Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания. Часть 2 При выполнении заданий 19-21 запишите решение и ответ. 19. Решите уравнение: (х + 10)² = (5 – x)². Модуль «Алгебра» 20. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту быстрее, чем первая труба? Модуль «Геометрия» 2026/05/18 10:20

Часть 1

Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

Графики:

• А) График пересекает ось Y выше нуля, убывает. Значит, k < 0, b > 0. Соответствует 1.


• Б) График пересекает ось Y ниже нуля, убывает. Значит, k < 0, b < 0. Соответствует 2.


• В) График пересекает ось Y ниже нуля, возрастает. Значит, k > 0, b < 0. Соответствует 3.

Ответ: А-1, Б-2, В-3.

12. Вычислите:

\[ \frac{(5^2)^5 \cdot 5^2}{5^{10}} = \frac{5^{2 \cdot 5} \cdot 5^2}{5^{10}} = \frac{5^{10} \cdot 5^2}{5^{10}} = 5^2 = 25 \]

Ответ: 25

13. Найдите ∠ВКС, если ∠B = 40°, а ∠C = 80°.

В треугольнике ABC: \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \).

\( \angle A = 180^\circ - 40^\circ - 80^\circ = 60^\circ \).

В треугольнике BKC:

\( \angle BKC = 180^\circ - \angle KBC - \angle KCB \).

Так как ВК и СК — биссектрисы, то:

\( \angle KBC = \frac{\angle B}{2} = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ \).

\( \angle KCB = \frac{\angle C}{2} = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ \).

\( \angle BKC = 180^\circ - 20^\circ - 40^\circ = 120^\circ \).

Ответ: 120°

14. Найдите величину угла DOK, если ОК — биссектриса угла AOD, ∠DOB = 108°.

Угол AOB — развернутый, то есть \( \angle AOB = 180^\circ \).

\( \angle AOD = \angle AOB - \angle DOB = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ \).

Так как ОК — биссектриса угла AOD, то:

\( \angle DOK = \frac{\angle AOD}{2} = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ \).

Ответ: 36°

15. В равнобедренном треугольнике АВС АС = ВС. Найдите АН, если высота СН = 8, AC = 10.

В равнобедренном треугольнике АВС, \( AC = BC = 10 \). Высота \( CH = 8 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник АНС:

\( AH^2 + CH^2 = AC^2 \)

\( AH^2 + 8^2 = 10^2 \)

\( AH^2 + 64 = 100 \)

\( AH^2 = 100 - 64 = 36 \)

\( AH = \sqrt{36} = 6 \).

Ответ: 6

16. Найдите ∠DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны 150° и 68° соответственно.

Угол DEF — вписанный. Он равен половине градусной меры дуги DF.

Дуга DF = Дуга DE + Дуга EF = 150° + 68° = 218°.

\( \angle DEF = \frac{1}{2} \text{Дуга } DF = \frac{1}{2} \cdot 218^\circ = 109^\circ \).

Ответ: 109°

17. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

Основание параллелограмма равно 4 клеткам.

Высота параллелограмма равна 3 клеткам.

Площадь = \( 4 × 3 = 12 \) клеток.

Ответ: 12

18. Какие из следующих утверждений верны?

• 1) Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым. (Неверно. Смежный угол может быть тупым или прямым.)


• 2) Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. (Верно.)


• 3) Все диаметры окружности равны между собой. (Верно.)

Ответ: 2, 3

Часть 2

19. Решите уравнение: (х + 10)² = (5 - x)².

Раскроем скобки:

\( x^2 + 20x + 100 = 25 - 10x + x^2 \)

Вычтем \( x^2 \) из обеих частей:

\( 20x + 100 = 25 - 10x \)

Перенесём члены с \( x \) в левую часть, а свободные члены — в правую:

\( 20x + 10x = 25 - 100 \)

\( 30x = -75 \)

\( x = \frac{-75}{30} = -2.5 \)

Ответ: -2.5

20. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту быстрее, чем первая труба?

Пусть \( x \) л/мин — производительность второй трубы.

Тогда \( x-1 \) л/мин — производительность первой трубы.

Время заполнения резервуара второй трубой: \( t_2 = \frac{110}{x} \) минут.

Время заполнения резервуара первой трубой: \( t_1 = \frac{110}{x-1} \) минут.

По условию, первая труба заполняет резервуар на 1 минуту дольше, чем вторая:

\( t_1 = t_2 + 1 \)

\( \frac{110}{x-1} = \frac{110}{x} + 1 \)

Умножим обе части на \( x(x-1) \), чтобы избавиться от знаменателей:

\( 110x = 110(x-1) + x(x-1) \)

\( 110x = 110x - 110 + x^2 - x \)

\( 0 = x^2 - x - 110 \)

Решим квадратное уравнение \( x^2 - x - 110 = 0 \) через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441 \]

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{441}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 21}{2} \]

Два корня:

\[ x_1 = \frac{1 + 21}{2} = \frac{22}{2} = 11 \]

\[ x_2 = \frac{1 - 21}{2} = \frac{-20}{2} = -10 \]

Так как производительность трубы не может быть отрицательной, выбираем \( x = 11 \).

Ответ: 11 л/мин