Установите соответствие между функциями и их первообразными.

Решение:

Для того чтобы установить соответствие между функцией \( f(x) \) и её первообразной \( F(x) \), найдём первообразные для каждой из данных функций:

1. Для \( f(x) = x^4 + 3x \):
   \( \int (x^4 + 3x) dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} + 3\frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{x^5}{5} + \frac{3x^2}{2} + C \)
2. Для \( f(x) = x^2 - 3 \):
   \( \int (x^2 - 3) dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} - 3x + C = \frac{x^3}{3} - 3x + C \)
3. Для \( f(x) = 2x + \frac{1}{x} \):
   \( \int (2x + \frac{1}{x}) dx = 2\frac{x^{1+1}}{1+1} + \ln|x| + C = x^2 + \ln|x| + C \)
4. Для \( f(x) = 6x^2 + \frac{x}{2} \):
   \( \int (6x^2 + \frac{x}{2}) dx = 6\frac{x^{2+1}}{2+1} + \frac{1}{2}\frac{x^{1+1}}{1+1} + C = 6\frac{x^3}{3} + \frac{1}{2}\frac{x^2}{2} + C = 2x^3 + \frac{x^2}{4} + C \)

Теперь сравним полученные результаты с предложенными вариантами первообразных:

• Вариант 1: \( F(x) = x \) — не совпадает ни с одной из найденных.
• Вариант 2: \( F(x) = \frac{x}{5} \) — не совпадает ни с одной из найденных.
• Вариант 3: \( F(x) = 2. \) — не совпадает ни с одной из найденных.
• Вариант 4: \( F(x) = \frac{x}{3} \) — не совпадает ни с одной из найденных.

Примечание: В представленном задании, похоже, произошла ошибка при вводе вариантов первообразных, так как ни одна из предложенных \( F(x) \) не соответствует вычисленным. Однако, если предположить, что варианты \( F(x) \) были даны для других \( f(x) \) или есть опечатка, то задача в текущем виде не может быть решена с предложенными вариантами.

Если предположить, что варианты первообразных были связаны с функциями иначе, например, ища производную от \( F(x) \) чтобы получить \( f(x) \):

1. \( F(x) = x \) → \( f(x) = 1 \)
2. \( F(x) = \frac{x}{5} \) → \( f(x) = \frac{1}{5} \)
3. \( F(x) = 2 \) → \( f(x) = 0 \)
4. \( F(x) = \frac{x}{3} \) → \( f(x) = \frac{1}{3} \)

Таким образом, нет соответствия между предложенными функциями \( f(x) \) и вариантами первообразных \( F(x) \).