Усечённая пирамида Дана правильная четырёхугольная усечённая пирамида ABCDABCD, со сторонами оснований, равными 7 и 5, а ребро этой пирамиды равно √26. Найдите площадь полной поверхности данной пирамиды. Введите целое число или десятичную дробь.

Анализ задачи:

Задача на вычисление площади полной поверхности правильной четырёхугольной усечённой пирамиды. Известны длины сторон оснований (a = 7, b = 5) и боковое ребро (l = √26).

Алгоритм решения:

1. Вычисление апофемы (k): Апофема — это высота боковой грани усечённой пирамиды. Её можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный апофемой, разностью полупериметров оснований и высотой усечённой пирамиды. Однако, в данном случае, удобнее использовать другое свойство. Рассмотрим боковую грань, которая является равнобедренной трапецией. Высоту этой трапеции (апофему) можно найти, если опустить перпендикуляры из вершин верхнего основания на нижнее. Получится прямоугольный треугольник, где гипотенуза — это боковое ребро (√26), а один из катетов равен разности радиусов вписанных окружностей оснований. Так как основания — квадраты, то радиус вписанной окружности равен половине стороны. Таким образом, катет равен \( \frac{7}{2} - \frac{5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \). Найдём апофему по теореме Пифагора: \( k = \sqrt{l^2 - (\frac{a-b}{2})^2} = \sqrt{(\sqrt{26})^2 - (\frac{7-5}{2})^2} = \sqrt{26 - 1^2} = \sqrt{25} = 5 \).
2. Вычисление площади боковой поверхности (S_бок): Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды равна полусумме периметров оснований, умноженной на апофему: \( S_{бок} = \frac{P_1 + P_2}{2} \cdot k \). Периметры оснований: \( P_1 = 4 \cdot 7 = 28 \) и \( P_2 = 4 \cdot 5 = 20 \). \( S_{бок} = \frac{28 + 20}{2} \cdot 5 = \frac{48}{2} \cdot 5 = 24 \cdot 5 = 120 \).
3. Вычисление площадей оснований (S_1, S_2): Основания — квадраты. \( S_1 = a^2 = 7^2 = 49 \) и \( S_2 = b^2 = 5^2 = 25 \).
4. Вычисление площади полной поверхности (S_полн): Площадь полной поверхности равна сумме площадей оснований и площади боковой поверхности: \( S_{полн} = S_1 + S_2 + S_{бок} \). \( S_{полн} = 49 + 25 + 120 = 194 \).

Ответ: 194