Уровень А. 1. Существует ли треугольник со сторонами 4 см, 11 см, 5 см? 2. Существует ли треугольник со сторонами 7 см, 8 см, 10 см? 3. Существует ли треугольник со сторонами 5 см, 3 дм, 4 см? Уровень В. 1. Существует ли треугольник со сторонами 7,3; 4,03 и 3,277 2. Существует ли треугольник со сторонами 6 см, 1 дм и 2 см. 3. В равнобедренном треугольнике одна сторона 6 см, а другая 12 см. Боковая сторона равна. Уровень С. 1. Существует ли треугольник со сторонами 6 дм, 2 м и 7 дм. 2. Длины двух сторон равнобедренного треугольника равны 2 и 7. Может ли периметр треугольника быть равен 11 или 16? 3. Длины двух сторон треугольника равны 4 и 15. Сколько различных целых значений может принимать длина третьей стороны этого треугольника?

Уровень A

1. Проверим, может ли существовать треугольник со сторонами 4 см, 11 см, 5 см. Сумма двух меньших сторон: 4 + 5 = 9 см. Так как 9 см < 11 см, то треугольник с такими сторонами не существует.
2. Проверим, может ли существовать треугольник со сторонами 7 см, 8 см, 10 см. Сумма двух меньших сторон: 7 + 8 = 15 см. Так как 15 см > 10 см, то треугольник с такими сторонами существует.
3. Проверим, может ли существовать треугольник со сторонами 5 см, 3 дм, 4 см. Переведём 3 дм в сантиметры: 3 дм = 30 см. Теперь у нас стороны 5 см, 30 см, 4 см. Сумма двух меньших сторон: 5 + 4 = 9 см. Так как 9 см < 30 см, то треугольник с такими сторонами не существует.

Уровень B

1. Проверим, может ли существовать треугольник со сторонами 7,3; 4,03 и 3,27. Сумма двух меньших сторон: 4,03 + 3,27 = 7,3. Так как 7,3 = 7,3, то треугольник с такими сторонами не существует.
2. Проверим, может ли существовать треугольник со сторонами 6 см, 1 дм и 2 см. Переведём 1 дм в сантиметры: 1 дм = 10 см. Теперь у нас стороны 6 см, 10 см, 2 см. Сумма двух меньших сторон: 6 + 2 = 8 см. Так как 8 см < 10 см, то треугольник с такими сторонами не существует.
3. В равнобедренном треугольнике одна сторона 6 см, а другая 12 см. Боковая сторона равна. В равнобедренном треугольнике две стороны равны. Рассмотрим два случая:
   • Боковые стороны по 6 см, основание 12 см. Проверим неравенство треугольника: 6 + 6 = 12, что не больше 12. Такой треугольник не существует.
   • Боковые стороны по 12 см, основание 6 см. Проверим неравенство треугольника: 12 + 12 = 24 > 6. Такой треугольник существует, и боковая сторона равна 12 см.
   Ответ: 12 см.

Уровень C

1. Проверим, может ли существовать треугольник со сторонами 6 дм, 2 м и 7 дм. Переведём всё в дециметры: 2 м = 20 дм. Теперь у нас стороны 6 дм, 20 дм, 7 дм. Сумма двух меньших сторон: 6 + 7 = 13 дм. Так как 13 дм < 20 дм, то треугольник с такими сторонами не существует.
2. Длины двух сторон равнобедренного треугольника равны 2 и 7. Может ли периметр треугольника быть равен 11 или 16? Рассмотрим два случая:
   • Боковые стороны по 2, основание 7. 2 + 2 < 7, такой треугольник не существует.
   • Боковые стороны по 7, основание 2. 7 + 7 > 2, такой треугольник существует. Периметр равен 7 + 7 + 2 = 16.
   Ответ: Периметр может быть равен 16.
3. Длины двух сторон треугольника равны 4 и 15. Сколько различных целых значений может принимать длина третьей стороны этого треугольника? Пусть третья сторона равна x. Тогда должны выполняться неравенства:
   • 4 + 15 > x
   • 4 + x > 15
   • 15 + x > 4 (это неравенство выполняется всегда, если x > 0)
   Из первых двух неравенств получаем:
   • x < 19
   • x > 11
   Таким образом, x может принимать целые значения от 12 до 18 включительно. Количество таких значений: 18 - 12 + 1 = 7. Ответ: 7.