Уровень А. А1. Сколько интервалов возрастания имеет функция f(x) = x³ - 3x²? А. 1. Б. Ни одного. В. 2. Г. 3 А2. Сколько критических точек имеет функция f(x) = x³ - 6x² + 9x? А. Ни одной. Б. 3. В. 1. Г. 2. АЗ. Значение функции у = 2х² - 8х + 11 в точке минимума равно... A. 0. Б.5. B. 2. Г.З. А4. Точкой минимума функции f(x) = 16x³ + 81x² - 21x - 5 является... A. 1/8 Б.2,5. B.-3. Г.-1. Уровень В. В5. Дана функция f(x) = x³ - 3x + 2. Найдите промежутки возрастания и убывания функции. Уровень С. С6. Исследуйте с помощью производной функцию f(x) = x² - 3x + 1 и постройте её график.

Решение:

Уровень А

1. А1. Для нахождения интервалов возрастания и убывания найдём производную функции \( f(x) = x^3 - 3x^2 \): \( f'(x) = 3x^2 - 6x \). Приравняем производную к нулю: \( 3x^2 - 6x = 0 \) \( 3x(x - 2) = 0 \). Корни: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 2 \). Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: \( (-\infty; 0) \), \( (0; 2) \), \( (2; +\infty) \). Определим знак производной на каждом интервале:
   • На \( (-\infty; 0) \): \( f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0 \) (возрастание).
   • На \( (0; 2) \): \( f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0 \) (убывание).
   • На \( (2; +\infty) \): \( f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0 \) (возрастание).
   Таким образом, функция возрастает на двух интервалах.
2. А2. Критические точки функции — это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Для функции \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \) найдём производную: \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \). Приравняем производную к нулю: \( 3x^2 - 12x + 9 = 0 \) \( x^2 - 4x + 3 = 0 \). Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \). Корни: \( x_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \), \( x_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1 \). Функция имеет две критические точки.
3. АЗ. Для нахождения точки минимума функции \( y = 2x^2 - 8x + 11 \) найдём производную: \( y' = 4x - 8 \). Приравняем производную к нулю: \( 4x - 8 = 0 \) \( 4x = 8 \) \( x = 2 \). Это точка минимума, так как вторая производная \( y'' = 4 > 0 \). Найдем значение функции в этой точке: \( y(2) = 2(2)^2 - 8(2) + 11 = 2(4) - 16 + 11 = 8 - 16 + 11 = 3 \).
4. А4. Для функции \( f(x) = 16x^3 + 81x^2 - 21x - 5 \) найдём производную: \( f'(x) = 48x^2 + 162x - 21 \). Приравняем к нулю: \( 48x^2 + 162x - 21 = 0 \). Разделим на 3: \( 16x^2 + 54x - 7 = 0 \). Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 54^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-7) = 2916 + 448 = 3364 \). \( \sqrt{D} = 58 \). Корни: \( x_1 = \frac{-54 + 58}{2 \cdot 16} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8} \), \( x_2 = \frac{-54 - 58}{2 \cdot 16} = \frac{-112}{32} = -\frac{7}{2} = -3.5 \). Найдем вторую производную: \( f''(x) = 96x + 162 \). Проверим знаки второй производной в критических точках:
   • \( f''(\frac{1}{8}) = 96(\frac{1}{8}) + 162 = 12 + 162 = 174 > 0 \) (минимум).
   • \( f''(-3.5) = 96(-3.5) + 162 = -336 + 162 = -174 < 0 \) (максимум).
   Точка минимума: \( x = \frac{1}{8} \).

Уровень В

1. В5. Для функции \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) найдём производную: \( f'(x) = 3x^2 - 3 \). Приравняем к нулю: \( 3x^2 - 3 = 0 \) \( x^2 - 1 = 0 \) \( x = \pm 1 \). Определим знаки производной:
   • На \( (-\infty; -1) \): \( f'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \) (возрастание).
   • На \( (-1; 1) \): \( f'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0 \) (убывание).
   • На \( (1; +\infty) \): \( f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \) (возрастание).
   Промежутки возрастания: \( (-\infty; -1] \) и \( [1; +\infty) \). Промежутки убывания: \( [-1; 1] \).

Уровень С

1. С6. Исследуем функцию \( f(x) = x^2 - 3x + 1 \) и построим её график.
   • Область определения: \( D(f) = (-\infty; +\infty) \) (любое действительное число).
   • Производная: \( f'(x) = 2x - 3 \).
   • Критические точки: \( 2x - 3 = 0 → x = \frac{3}{2} \).
   • Интервалы монотонности:
     • При \( x < \frac{3}{2} \) \( f'(x) < 0 \) (функция убывает).
     • При \( x > \frac{3}{2} \) \( f'(x) > 0 \) (функция возрастает).
   • Экстремумы: В точке \( x = \frac{3}{2} \) функция имеет минимум, так как производная меняет знак с минуса на плюс. Значение минимума: \( f(\frac{3}{2}) = (\frac{3}{2})^2 - 3(\frac{3}{2}) + 1 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 1 = \frac{9 - 18 + 4}{4} = -\frac{5}{4} \).
   • График: Функция является параболой с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке \( (\frac{3}{2}; -\frac{5}{4}) \).

Ответ:

А1. Возрастает на двух интервалах. Вариант, соответствующий двум интервалам возрастания, отсутствует в предложенных. Если вопрос о количестве интервалов возрастания, то их два. Если вопрос о количестве точек экстремума, то 2. Если вопрос о количестве критических точек, то 2.

А2. Две критические точки. Вариант Г.

АЗ. Значение функции равно 3. Вариант Г.

А4. Точка минимума \( x = \frac{1}{8} \). Вариант А.

В5. Промежутки возрастания: \( (-\infty; -1] \) и \( [1; +\infty) \). Промежутки убывания: \( [-1; 1] \).

С6. График — парабола с вершиной в точке \( (1.5; -1.25) \), ветви вверх. Функция убывает на \( (-\infty; 1.5] \) и возрастает на \( [1.5; +\infty) \). Минимум в точке \( x=1.5 \), \( f(1.5) = -1.25 \).