Урок №34. Смеси, проценты и работа 1. Смешав 60%-й и 30%-й растворы кислоты и добавив 5 кг чистой воды, получили 20%-й раствор кислоты. Если бы вместо 5 кг воды добавили 5 кг 90%-го раствора той же кислоты, то получили бы 70%-й раствор кислоты. Сколько кг 60%-го р-ра использовали для получения смеси?

Привет! Давай разберем эту задачку по химии вместе. Она немного запутанная, но если действовать по шагам, всё станет понятно.

Что мы знаем?

• У нас есть два раствора кислоты: один 60%-й, другой 30%-й.
• Мы смешали их и добавили 5 кг чистой воды. Получили 20%-й раствор.
• Есть другое условие: если бы мы вместо воды добавили 5 кг 90%-го раствора той же кислоты, то получили бы 70%-й раствор.
• Нужно узнать, сколько килограммов 60%-го раствора использовали в первом случае.

Давай обозначим неизвестные:

• Пусть x кг — это масса 60%-го раствора.
• Пусть y кг — это масса 30%-го раствора.

Составим уравнения, основываясь на условиях:

Первое условие: Смешали 60%-й (x кг) и 30%-й (y кг) растворы, добавили 5 кг воды, получили 20%-й раствор.

Масса кислоты в 60%-м растворе: 0.60x

Масса кислоты в 30%-м растворе: 0.30y

Общая масса кислоты в смеси: 0.60x + 0.30y

Общая масса раствора после добавления воды: x + y + 5

Концентрация полученного раствора: 20%, то есть 0.20.

Теперь составим уравнение, связывающее массу кислоты и общую массу раствора:

\[ 0.60x + 0.30y = 0.20(x + y + 5) \]

Упростим это уравнение:

\[ 0.60x + 0.30y = 0.20x + 0.20y + 1 \]

\[ 0.60x - 0.20x + 0.30y - 0.20y = 1 \]

\[ 0.40x + 0.10y = 1 \]

Умножим всё на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

\[ 4x + y = 10 \quad (*)\]

Второе условие: Вместо 5 кг воды добавили 5 кг 90%-го раствора, получили 70%-й раствор.

Масса кислоты в 60%-м растворе: 0.60x

Масса кислоты в 30%-м растворе: 0.30y

Масса кислоты в добавленном 90%-м растворе: 0.90 * 5 = 4.5

Общая масса кислоты в новой смеси: 0.60x + 0.30y + 4.5

Общая масса нового раствора: x + y + 5

Концентрация нового раствора: 70%, то есть 0.70.

Составим второе уравнение:

\[ 0.60x + 0.30y + 4.5 = 0.70(x + y + 5) \]

Упростим его:

\[ 0.60x + 0.30y + 4.5 = 0.70x + 0.70y + 3.5 \]

\[ 4.5 - 3.5 = 0.70x - 0.60x + 0.70y - 0.30y \]

\[ 1 = 0.10x + 0.40y \]

Умножим всё на 10:

\[ 10 = x + 4y \quad ()\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[ \begin{cases} 4x + y = 10 \\ x + 4y = 10 \end{cases} \]

Из первого уравнения выразим y:

\[ y = 10 - 4x \]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[ x + 4(10 - 4x) = 10 \]

\[ x + 40 - 16x = 10 \]

\[ -15x = 10 - 40 \]

\[ -15x = -30 \]

\[ x = \frac{-30}{-15} \]

\[ x = 2 \]

Итак, масса 60%-го раствора (x) равна 2 кг.

Чтобы убедиться, найдем y:

\[ y = 10 - 4x = 10 - 4(2) = 10 - 8 = 2 \]

То есть, масса 30%-го раствора тоже 2 кг.

Проверим оба условия:

Первое условие: Смешали 2 кг 60%-го раствора (0.6*2=1.2 кг кислоты) и 2 кг 30%-го раствора (0.3*2=0.6 кг кислоты), добавили 5 кг воды.

Общая масса кислоты: 1.2 + 0.6 = 1.8 кг.

Общая масса раствора: 2 + 2 + 5 = 9 кг.

Концентрация: 1.8 / 9 = 0.2, или 20%. Верно!

Второе условие: Смешали 2 кг 60%-го раствора (1.2 кг кислоты) и 2 кг 30%-го раствора (0.6 кг кислоты), добавили 5 кг 90%-го раствора (0.9*5=4.5 кг кислоты).

Общая масса кислоты: 1.2 + 0.6 + 4.5 = 6.3 кг.

Общая масса раствора: 2 + 2 + 5 = 9 кг.

Концентрация: 6.3 / 9 = 0.7, или 70%. Верно!

Ответ: 2 кг