Урок 24. Степень вершины. Число рёбер и суммарная степень вершин.

Основные понятия:

Степень вершины в графе — это количество рёбер, которые выходят из данной вершины.

Если ребро соединяет вершину саму с собой, то такое ребро называют петлёй.

Теорема о сумме степеней вершин: Сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному числу его рёбер.

Свойство: В любом графе число вершин с нечётной степенью чётно.

Задание 1. Определи степень вершины Д.

Вершина Д соединена рёбрами с вершинами А, Б и Г. Следовательно, степень вершины Д равна 3.

Ответ: 3

Задание 2. Определи сумму степеней вершин.

Степени вершин:

• A: 2 (соединена с Д и Б)
• Б: 3 (соединена с Д, А и Г)
• В: 1 (соединена с Д)
• Г: 2 (соединена с Д и Б)

Сумма степеней: \( 2 + 3 + 1 + 2 = 8 \).

Ответ: 8

Задание 3. Для графа, изображенного на рисунке, определите степени вершин. Найдите сумму степеней вершин. Четна или нечётна найденная сумма? Ответ подчеркни.

Сумма степеней вершин равна 10. Найденная сумма четна.

Задание 4. В некотором графе 6 вершин. Найдите количество его рёбер, если степени вершин равны:

Согласно теореме о сумме степеней вершин, сумма степеней равна удвоенному числу рёбер. Значит, число рёбер равно половине суммы степеней.

a) Сумма степеней: \( 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 = 18 \). Число рёбер: \( 18 / 2 = 9 \).

b) Сумма степеней: \( 0 + 1 + 2 + 2 + 3 + 4 = 12 \). Число рёбер: \( 12 / 2 = 6 \).

Ответ: a) 9, б) 6

Задание 5. На 8 марта каждый из 10 мальчиков класса подарил по цветку 8 одноклассницам. Известно, что каждая девочка получила по 5 цветков. Сколько всего девочек в классе?

Общее количество подаренных цветов:

10 мальчиков * 8 одноклассниц = 80 цветов.

Каждая девочка получила по 5 цветков. Чтобы найти количество девочек, нужно общее количество цветов разделить на количество цветов, которое получила одна девочка:

80 цветов / 5 цветков/девочка = 16 девочек.

Ответ: 16