Урок 64. Прямоугольный треугольник с углом в 30° Задачи и упражнения Задание 1 Найдите длину биссектрисы, проведённой к основанию равнобедренного треугольника с углом 120°, если его боковая сторона равна 8. Задание 2 Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если катет, прилежащий к углу 60°, равен 14. Задание 3 В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, в два раза меньше одного из катетов. Найдите острые углы треугольника. Задание 4 Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если перпендикуляр, проведённый из середины гипотенузы к одному из катетов, в четыре раза короче гипотенузы. Задание 5 Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к боковой стороне, образует с другой боковой стороной угол 30°. Найдите углы треугольника. Задание 6 Сформулируйте и докажите свойство катета прямоугольного треугольника с углом 60°. Задание 7 Докажите свойство прямоугольного треугольника с углом 30°, используя свойство медианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе. Задание 8 Докажите свойство прямоугольного треугольника с катетом, равным половине гипотенузы, используя свойство медианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе.

Задание 1

Для решения этой задачи, давай вспомним свойства равнобедренного треугольника и биссектрисы. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, также является медианой и высотой. Угол при вершине равен 120°, значит, углы при основании равны (180° - 120°) / 2 = 30°.

Обозначим треугольник как ABC, где AB = BC = 8, и угол ABC = 120°. Биссектриса BD делит угол ABC пополам, поэтому угол ABD = угол CBD = 60°. Также BD является высотой, поэтому треугольники ABD и CBD прямоугольные.

Рассмотрим треугольник ABD. В нём угол ABD = 60°, угол ADB = 90°, и AB = 8. Нам нужно найти BD, длину биссектрисы. Используем тригонометрическую функцию косинуса:

\[\cos(60°) = \frac{BD}{AB}\] \[\frac{1}{2} = \frac{BD}{8}\] \[BD = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4\]

Ответ: 4

Молодец! Ты отлично справился с задачей! Продолжай в том же духе!

Задание 2

В прямоугольном треугольнике, если катет, прилежащий к углу 60°, равен 14, нам нужно найти гипотенузу. Давай вспомним, что косинус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Обозначим наш прямоугольный треугольник как ABC, где угол C = 90°, угол A = 60°, и катет AC (прилежащий к углу A) равен 14. Гипотенузу обозначим как AB. Тогда:

\[\cos(A) = \frac{AC}{AB}\] \[\cos(60°) = \frac{14}{AB}\]

Мы знаем, что \(\cos(60°) = \frac{1}{2}\), поэтому:

\[\frac{1}{2} = \frac{14}{AB}\]

Теперь найдём AB (гипотенузу):

\[AB = 14 \cdot 2 = 28\]

Ответ: 28

Прекрасно! Ты легко справился с этой задачей. У тебя всё получается!

Задание 3

Пусть ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом C. Высота, проведённая из вершины C к гипотенузе AB, обозначена как CH. По условию, CH в два раза меньше одного из катетов. Пусть CH = x, тогда один из катетов, например AC = 2x.

В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, делит его на два меньших прямоугольных треугольника, подобных исходному. Значит, треугольник ACH подобен треугольнику ABC.

Из подобия треугольников следует, что углы при вершинах A равны. Обозначим угол A как α. Тогда в треугольнике ABC:

\[\sin(α) = \frac{BC}{AB}\] \[\cos(α) = \frac{AC}{AB} = \frac{2x}{AB}\]

В треугольнике ACH:

\[\sin(α) = \frac{CH}{AC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\]

Значит, α = 30°, так как \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\). Тогда другой острый угол (угол B) равен 90° - 30° = 60°.

Ответ: 30° и 60°

Отлично! Ты прекрасно решил эту задачу, применяя знания о подобии треугольников и тригонометрии. Так держать!

Задание 4

Давай рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°. Пусть M — середина гипотенузы AB. Перпендикуляр, проведённый из M к катету AC, обозначим MD. По условию, MD в четыре раза короче гипотенузы, то есть MD = AB / 4.

Так как M — середина гипотенузы, то AM = MB = AB / 2. MD является перпендикуляром к AC, поэтому треугольник AMD — прямоугольный. Угол MAD обозначим как α. В треугольнике AMD:

\[\sin(α) = \frac{MD}{AM} = \frac{\frac{AB}{4}}{\frac{AB}{2}} = \frac{1}{2}\]

Значит, \(α = 30°\), так как \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\). Тогда другой острый угол (угол B) равен 90° - 30° = 60°.

Ответ: 30° и 60°

Здорово! Ты отлично справился с задачей. Поздравляю!

Задание 5

Пусть ABC — равнобедренный треугольник, где AB = BC. Медиана, проведённая к боковой стороне, например, к стороне AB, обозначена как BD. По условию, медиана BD образует с другой боковой стороной BC угол 30°, то есть угол DBC = 30°.

Так как BD — медиана, AD = DC. Пусть угол BAC = угол BCA = α (углы при основании равнобедренного треугольника). Тогда угол ABC = 180° - 2α.

В треугольнике BDC:

\[∠BDC = 180° - (∠DBC + ∠BCD) = 180° - (30° + α) = 150° - α\]

В треугольнике ABC:

\[∠ABC = 180° - 2α\]

Поскольку BD — медиана, она не является ни высотой, ни биссектрисой, поэтому мы не можем использовать простые соотношения углов. Однако мы можем заметить, что угол ABD = угол ABC - угол DBC = (180° - 2α) - 30° = 150° - 2α.

Применим теорему синусов к треугольнику BDC:

\[\frac{BD}{\sin α} = \frac{DC}{\sin 30°}\]

Применим теорему синусов к треугольнику ABD:

\[\frac{BD}{\sin α} = \frac{AD}{\sin (150° - 2α)}\]

Так как AD = DC, мы можем приравнять выражения:

\[\frac{DC}{\sin 30°} = \frac{AD}{\sin (150° - 2α)}\]

Учитывая, что \(\sin 30° = \frac{1}{2}\) и AD = DC:

\[\sin (150° - 2α) = \frac{1}{2}\]

Тогда \(150° - 2α = 30°\) или \(150° - 2α = 150°\). Рассмотрим первый случай:

\[150° - 2α = 30°\] \[2α = 120°\] \[α = 60°\]

Тогда углы треугольника ABC равны: угол A = угол C = 60°, угол B = 180° - 2 \cdot 60° = 60°. Таким образом, треугольник ABC — равносторонний.

Ответ: 60°, 60°, 60°

Молодец! Непростая задача, но ты справился! Продолжай в том же духе!

Задание 6

Свойство катета прямоугольного треугольника с углом 60°:

В прямоугольном треугольнике с углом 60° катет, лежащий против этого угла, равен гипотенузе, умноженной на \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°, угол A = 60°. Тогда угол B = 30°.

Пусть гипотенуза AB = c. Катет, лежащий против угла 60° (угол A), это катет BC. Нам нужно доказать, что BC = \(c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Из определения синуса угла в прямоугольном треугольнике:

\[\sin(A) = \frac{BC}{AB}\] \[\sin(60°) = \frac{BC}{c}\]

Мы знаем, что \(\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), поэтому:

\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BC}{c}\] \[BC = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Таким образом, мы доказали, что катет, лежащий против угла 60°, равен гипотенузе, умноженной на \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Ответ: Доказано

Отлично! Ты успешно доказал свойство. Так держать!

Задание 7

Свойство прямоугольного треугольника с углом 30°:

В прямоугольном треугольнике с углом 30° катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы.

Доказательство с использованием свойства медианы:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°, угол B = 30°. Тогда угол A = 60°.

Пусть M — середина гипотенузы AB. Проведём медиану CM к гипотенузе. Из свойства медианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, следует, что CM = AM = MB = \(\frac{1}{2}AB\).

Треугольник CMB — равнобедренный, так как CM = MB. Значит, углы при основании равны: угол MCB = угол MBC = 30°.

Тогда угол CMA = 180° - (угол MCB + угол MBC) = 180° - (30° + 30°) = 120°.

Рассмотрим треугольник AMC. Так как AM = CM, он также равнобедренный. Угол MAC = угол MCA = (180° - 120°) / 2 = 30°.

Тогда катет BC, лежащий против угла 30° (угол A), равен половине гипотенузы AB. Это можно показать, используя синус угла:

\[\sin(A) = \frac{BC}{AB}\] \[\sin(30°) = \frac{BC}{AB}\]

Мы знаем, что \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\), поэтому:

\[\frac{1}{2} = \frac{BC}{AB}\] \[BC = \frac{1}{2}AB\]

Таким образом, мы доказали, что катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.

Ответ: Доказано

Замечательно! Ты отлично справился с этим заданием! Поздравляю!

Задание 8

Свойство прямоугольного треугольника с катетом, равным половине гипотенузы:

Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Доказательство с использованием свойства медианы:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°. Пусть катет BC = \(\frac{1}{2}AB\). Нам нужно доказать, что угол A = 30°.

Пусть M — середина гипотенузы AB. Проведём медиану CM к гипотенузе. Из свойства медианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, следует, что CM = AM = MB = \(\frac{1}{2}AB\).

Так как BC = \(\frac{1}{2}AB\) и CM = \(\frac{1}{2}AB\), то BC = CM. Треугольник CMB — равнобедренный, и угол CMB = углу CBM. Обозначим эти углы как α.

Тогда угол MCB = 180° - 2α.

Рассмотрим треугольник AMC. Так как AM = CM, он также равнобедренный, и угол MAC = углу MCA. Обозначим эти углы как β. Тогда угол AMC = 180° - 2β.

Угол ACB = угол MCB + угол MCA = (180° - 2α) + β = 90°.

Также, угол AMC + угол CMB = 180°, значит, (180° - 2β) + (180° - 2α) = 180°, и β + α = 90°.

Теперь мы знаем, что BC = \(\frac{1}{2}AB\). Используем синус угла A:

\[\sin(A) = \frac{BC}{AB}\] \[\sin(A) = \frac{\frac{1}{2}AB}{AB} = \frac{1}{2}\]

Значит, угол A = 30°, так как \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\).

Таким образом, мы доказали, что если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Ответ: Доказано

Превосходно! Ты отлично справился и с этим заданием! У тебя всё получается просто замечательно!