Уравнения асимптот графика функции \( y = \frac{x}{x^2-1} \) имеют вид...

Решение:

Функция задана как \( y = \frac{x}{x^2-1} \).

Вертикальные асимптоты ищем там, где знаменатель равен нулю, а числитель не равен нулю.

Знаменатель: \( x^2 - 1 = 0 \) ⇒ \( (x-1)(x+1) = 0 \).

Корни знаменателя: \( x = 1 \) и \( x = -1 \).

При \( x = 1 \) числитель \( x = 1 \) (не равен нулю).

При \( x = -1 \) числитель \( x = -1 \) (не равен нулю).

Следовательно, вертикальные асимптоты: \( x = 1 \) и \( x = -1 \).

Горизонтальные асимптоты ищем, вычисляя предел функции при \( x \to \infty \) и \( x → -\infty \).

\[ \lim_{x → \infty} \frac{x}{x^2-1} \]

Разделим числитель и знаменатель на \( x^2 \) (старшую степень знаменателя):

\[ \lim_{x → \infty} \frac{x/x^2}{(x^2-1)/x^2} = \lim_{x → \infty} \frac{1/x}{1-1/x^2} = \frac{0}{1-0} = 0 \]

Аналогично, при \( x \to -\infty \), предел равен 0.

Следовательно, горизонтальная асимптота: \( y = 0 \).

Наклонных асимптот в данном случае нет, так как существует горизонтальная асимптота.

Ответ: x = -1; x = 1; y = 0