Упростив выражение \(\frac{a^{3/2}+b^{3/2}}{5a^{3/2}+5a^{1/2}b+a^{1/2}b+b^{3/2}}+\frac{a^{1/2}b^{1/2}}{5a+b}\), вычислите его значение при \(\frac{b}{a}=3\).

Разложим числитель и знаменатель первой дроби, используя \(a^{3/2}=a\sqrt a\), \(b^{3/2}=b\sqrt b\):

\[a^{3/2}+b^{3/2}=(\sqrt a+\sqrt b)(a-\sqrt{ab}+b).\]

Знаменатель первой дроби:

\[5a^{3/2}+5a^{1/2}b+a^{1/2}b+b^{3/2}=5a\sqrt a+6b\sqrt a+b\sqrt b=(\sqrt a+\sqrt b)(5a+b).\]

Следовательно, выражение равно

\[\frac{a-\sqrt{ab}+b}{5a+b}+\frac{\sqrt{ab}}{5a+b}=\frac{a+b}{5a+b}.\]

При \(\frac ba=3\), то есть \(b=3a\):

\[\frac{a+b}{5a+b}=\frac{a+3a}{5a+3a}=\frac{4a}{8a}=0.5.\]

Ответ: 0,5.