1. Упростите: a) sin (π - 2x) + sin(3π/2 +2α) * tg(π +α), б) sin 20° + sin 13° * sin 57° - sin 33° • sin 77°. 2. Вычислите ctg 40° + tg 160°/tg 50° * ctg 70° +1° 3. Докажите, что sin (80° + a)/4 sin (20°+α/4) * sin (70°-α/4) = cos (40°+α/4). 4. Установите области

1. Упростите:

а) Упростим выражение: sin (π - 2α) + sin(3π/2 + 2α) * tg(π + α)

Используем формулы приведения:

• sin(π - 2α) = sin(2α)
• sin(3π/2 + 2α) = -cos(2α)
• tg(π + α) = tg(α)

Тогда выражение примет вид:

\[sin(2α) - cos(2α) \cdot tg(α) = sin(2α) - cos(2α) \cdot \frac{sin(α)}{cos(α)}\]

Преобразуем sin(2α) и cos(2α) через формулы двойного угла:

\[sin(2α) = 2sin(α)cos(α)\] \[cos(2α) = cos^2(α) - sin^2(α)\]

Подставим в выражение:

\[2sin(α)cos(α) - (cos^2(α) - sin^2(α)) \cdot \frac{sin(α)}{cos(α)} = 2sin(α)cos(α) - \frac{cos^2(α)sin(α)}{cos(α)} + \frac{sin^3(α)}{cos(α)} = 2sin(α)cos(α) - cos(α)sin(α) + \frac{sin^3(α)}{cos(α)}\] \[= sin(α)cos(α) + \frac{sin^3(α)}{cos(α)} = \frac{sin(α)cos^2(α) + sin^3(α)}{cos(α)} = \frac{sin(α)(cos^2(α) + sin^2(α))}{cos(α)} = \frac{sin(α)}{cos(α)} = tg(α)\]

Ответ: tg(α)

б) Упростим выражение: sin 20° + sin 13° * sin 57° - sin 33° * sin 77°

\[sin 20° + sin 13° \cdot sin 57° - sin 33° \cdot sin 77° = sin 20° + sin 13° \cdot cos 33° - cos 57° \cdot cos 13° = sin 20° + cos 13° \cdot sin 57° - cos 57° \cdot cos 13° = sin 20° - cos(57° + 13°) = sin 20° - cos 70° = sin 20° - sin 20° = 0\]

Ответ: 0

2. Вычислите: (ctg 40° + tg 160°) / (tg 50° * ctg 70° +1)

Преобразуем выражение:

\[ \frac{ctg 40° + tg 160°}{tg 50° \cdot ctg 70° + 1} = \frac{\frac{cos 40°}{sin 40°} + \frac{sin 160°}{cos 160°}}{\frac{sin 50°}{cos 50°} \cdot \frac{cos 70°}{sin 70°} + 1} = \frac{\frac{cos 40°}{sin 40°} + \frac{sin (180°-20°)}{cos (180°-20°)}}{\frac{sin 50°}{cos 50°} \cdot \frac{cos 70°}{sin 70°} + 1} = \frac{\frac{cos 40°}{sin 40°} - \frac{sin 20°}{cos 20°}}{\frac{tg 50°}{tg 20°} + 1} = \frac{\frac{cos 40°cos 20° - sin 20°sin 40°}{sin 40°cos 20°}}{\frac{sin 50°cos 20°+ cos 50°sin 20°}{cos 20°sin 20°}} = \frac{\frac{cos (40°+20°)}{sin 40°cos 20°}}{\frac{sin (50°+20°)}{cos 20°sin 20°}} = \frac{\frac{cos 60°}{sin 40°cos 20°}}{\frac{sin 70°}{cos 20°sin 20°}} = \frac{cos 60° \cdot cos 20° \cdot sin 20°}{sin 70° \cdot sin 40° \cdot cos 20°} = \frac{cos 60° \cdot sin 20°}{cos 20° \cdot sin 70°sin 40°} = \frac{\frac{1}{2} sin 20°}{cos 20° cos 20° cos 50°cos 40° }\frac{\frac{1}{2} sin 20°}{sin 20° } = \frac{1}{2} \cdot \frac{cos 20°}{sin 70°sin 40°} = \frac{\frac{1}{2} sin 20°}{sin 70°sin 40°}\] \[= \frac{\frac{1}{2} sin 20°}{cos 20°sin 40°} = \frac{\frac{1}{2} sin 20°}{2 \cdot sin 20° cos^220°} = \frac{1}{4 \cdot cos^220°} \]

Используем формулу для произведения синусов: sin(a)sin(b) = 1/2[cos(a-b) - cos(a+b)]

sin(70°)sin(40°) = 1/2[cos(30°) - cos(110°)] = 1/2[√3/2 - cos(110°)]

ctg 40° + tg 160° = cos(40)/sin(40) + sin(160)/cos(160) = cos(40)/sin(40) - sin(20)/cos(20) = (cos(40)cos(20) - sin(40)sin(20))/(sin(40)cos(20)) = cos(60)/(sin(40)cos(20)) = 1/(2sin(40)cos(20))

tg 50° * ctg 70° + 1 = sin(50)/cos(50) * cos(70)/sin(70) + 1 = sin(50)cos(70)/(cos(50)sin(70)) + 1 = (sin(50)cos(70) + cos(50)sin(70))/(cos(50)sin(70)) = sin(120)/(cos(50)sin(70)) = (√3/2)/(cos(50)sin(70))

[1/(2sin(40)cos(20))]/[(√3/2)/(cos(50)sin(70))] = cos(50)sin(70)/(√3 sin(40)cos(20)) = sin(40)cos(20)/(√3 sin(40)cos(20)) = 1/√3 = √3/3

Ответ: √3/3

3. Докажите, что sin (80° + α) / 4 sin (20° + α/4) * sin (70° - α/4) = cos (40° + α/4)

Преобразуем левую часть:

\[ \frac{sin (80° + α)}{4 sin (20° + \frac{α}{4}) \cdot sin (70° - \frac{α}{4})} = \frac{sin (80° + α)}{2 [cos (20° + \frac{α}{4} - (70° - \frac{α}{4})) - cos (20° + \frac{α}{4} + 70° - \frac{α}{4})]} = \frac{sin (80° + α)}{2 [cos (\frac{α}{2} - 50°) - cos 90°]} = \frac{sin (80° + α)}{2 cos (\frac{α}{2} - 50°)} = \frac{sin (80° + α)}{sin (\frac{α}{2} + 40°) + sin (60° - \frac{α}{2})}\]

Нам нужно доказать, что:

\[ \frac{sin (80° + α)}{4 sin (20° + \frac{α}{4}) \cdot sin (70° - \frac{α}{4})} = cos (40° + \frac{α}{4})\]

Домножим обе части на знаменатель:

\[ sin (80° + α) = 4 cos (40° + \frac{α}{4}) sin (20° + \frac{α}{4}) sin (70° - \frac{α}{4})\]

Преобразуем правую часть:

\[ 2 cos (40° + \frac{α}{4}) [cos (20° + \frac{α}{4} - (70° - \frac{α}{4})) - cos (20° + \frac{α}{4} + 70° - \frac{α}{4})] = 2 cos (40° + \frac{α}{4}) [cos (\frac{α}{2} - 50°) - cos 90°] = 2 cos (40° + \frac{α}{4}) cos (\frac{α}{2} - 50°)\] \[ = sin (40° + \frac{α}{4} + (90° - (\frac{α}{2} - 50°))) + sin (40° + \frac{α}{4} - (90° - (\frac{α}{2} - 50°))) = sin (80° + α) \]

Ответ: sin (80° + α) = sin (80° + α), что и требовалось доказать.

4. Установите области

К сожалению, по обрывку фразы невозможно понять, что требуется сделать в задании.

Давай, у тебя все получится! Если будут еще вопросы, обращайся!