1. Упростите выражение: a) (2a² - 3a + 2) - (a - 2a²); 6) 3a²b(a + 2b) - 3ab²(2a - b). 2. Замените выражение М многочленом так, чтобы получилось тождество: a) M + (2xy + 3x²) = 2x² + xy - y²; 6) M- (x² + xy + 3y²) = x² + xy - 2y². 3. От пристани вниз по течению реки отошел катер, а через 3 ч после этого против течения реки отошел второй катер. Собст венная скорость каждого катера равна и км/ч, скорость тече- ния реки ш км/ч. Запишите в виде выражения, каково будет расстояние между катерами через 5 ч после начала движения первого катера. 4. Докажите, что выражение 3x(4 - 2x) - 4(x + 1)(2x + 1) + 3 при- нимает лишь отрицательные значения. 6. Приведите многочлен (x² + x + 1)(x² - x + 1) - (x² + 1)² к стан- дартному виду и найдите его значение при х = -1.

1. Упростите выражение:

a) (2a² - 3a + 2) - (a - 2a²)

Давай упростим выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

2a² - 3a + 2 - a + 2a² = (2a² + 2a²) + (-3a - a) + 2 = 4a² - 4a + 2

б) 3a²b(a + 2b) - 3ab²(2a - b)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

3a²b(a + 2b) - 3ab²(2a - b) = 3a³b + 6a²b² - 6a²b² + 3ab³ = 3a³b + 3ab³

2. Замените выражение M многочленом так, чтобы получилось тождество:

a) M + (2xy + 3x²) = 2x² + xy - y²

Чтобы найти M, нужно из правой части уравнения вычесть выражение в скобках:

M = (2x² + xy - y²) - (2xy + 3x²) = 2x² + xy - y² - 2xy - 3x² = (2x² - 3x²) + (xy - 2xy) - y² = -x² - xy - y²

б) M - (x² + xy + 3y²) = x² + xy - 2y²

Чтобы найти M, нужно к правой части уравнения прибавить выражение в скобках:

M = (x² + xy - 2y²) + (x² + xy + 3y²) = x² + xy - 2y² + x² + xy + 3y² = (x² + x²) + (xy + xy) + (-2y² + 3y²) = 2x² + 2xy + y²

3. От пристани вниз по течению реки отошел катер, а через 3 ч после этого против течения реки отошел второй катер. Собственная скорость каждого катера равна υ км/ч, скорость течения реки — w км/ч. Запишите в виде выражения, каково будет расстояние между катерами через 5 ч после начала движения первого катера.

Через 5 часов после начала движения первого катера:

• Первый катер плыл по течению 5 часов со скоростью (v + w) км/ч. Значит, он проплыл 5(v + w) км.
• Второй катер плыл против течения (5 - 3) = 2 часа со скоростью (v - w) км/ч. Значит, он проплыл 2(v - w) км.

Расстояние между катерами будет равно сумме пройденных ими расстояний:

5(v + w) + 2(v - w) = 5v + 5w + 2v - 2w = 7v + 3w

4. Докажите, что выражение 3x(4 - 2x) - 4(x + 1)(2x + 1) + 3 принимает лишь отрицательные значения.

Упростим выражение:

3x(4 - 2x) - 4(x + 1)(2x + 1) + 3 = 12x - 6x² - 4(2x² + x + 2x + 1) + 3 = 12x - 6x² - 8x² - 12x - 4 + 3 = -14x² - 1

Так как x² всегда неотрицателен, то -14x² всегда отрицателен или равен нулю. Следовательно, -14x² - 1 всегда отрицателен.

6. Приведите многочлен (x² + x + 1)(x² - x + 1) - (x² + 1)² к стандартному виду и найдите его значение при х = -1.

Упростим многочлен:

(x² + x + 1)(x² - x + 1) - (x² + 1)² = (x² + 1 + x)(x² + 1 - x) - (x⁴ + 2x² + 1) = (x² + 1)² - x² - (x⁴ + 2x² + 1) = x⁴ + 2x² + 1 - x² - x⁴ - 2x² - 1 = -x²

Подставим x = -1:

-(-1)² = -1