48.9. Упростите выражение: a) √a5a267 : চি; 1 3 6) (5): (√);

а) Упростим выражение \[\sqrt{a^5} \cdot \sqrt[3]{a^2b^7} : \sqrt{b}\]

• Представим все корни в виде степеней:
\[\sqrt{a^5} = a^{\frac{5}{2}}\] \[\sqrt[3]{a^2b^7} = a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{7}{3}}\] \[\sqrt{b} = b^{\frac{1}{2}}\]
• Тогда выражение примет вид:
\[a^{\frac{5}{2}} \cdot a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{7}{3}} : b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{5}{2} + \frac{2}{3}} \cdot b^{\frac{7}{3} - \frac{1}{2}}\]
• Приведем показатели к общему знаменателю:
\[a^{\frac{15}{6} + \frac{4}{6}} \cdot b^{\frac{14}{6} - \frac{3}{6}} = a^{\frac{19}{6}} \cdot b^{\frac{11}{6}}\]
• Представим в виде корней:
\[a^{\frac{19}{6}} \cdot b^{\frac{11}{6}} = \sqrt[6]{a^{19}b^{11}} = \sqrt[6]{a^{18} \cdot a \cdot b^{6} \cdot b^{5}} = a^3b\sqrt[6]{ab^5}\]

б) Упростим выражение \[(\sqrt{a^5})^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[4]{a^7b^3} : (\sqrt{b})^{\frac{3}{4}}\]

• Представим все корни в виде степеней:
\[(\sqrt{a^5})^{\frac{1}{3}} = (a^{\frac{5}{2}})^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{5}{6}}\] \[\sqrt[4]{a^7b^3} = a^{\frac{7}{4}}b^{\frac{3}{4}}\] \[(\sqrt{b})^{\frac{3}{4}} = (b^{\frac{1}{2}})^{\frac{3}{4}} = b^{\frac{3}{8}}\]
• Тогда выражение примет вид:
\[a^{\frac{5}{6}} \cdot a^{\frac{7}{4}}b^{\frac{3}{4}} : b^{\frac{3}{8}} = a^{\frac{5}{6} + \frac{7}{4}} \cdot b^{\frac{3}{4} - \frac{3}{8}}\]
• Приведем показатели к общему знаменателю:
\[a^{\frac{10}{12} + \frac{21}{12}} \cdot b^{\frac{6}{8} - \frac{3}{8}} = a^{\frac{31}{12}} \cdot b^{\frac{3}{8}}\]
• Представим в виде корней:
\[a^{\frac{31}{12}} \cdot b^{\frac{3}{8}} = \sqrt[12]{a^{31}} \cdot \sqrt[8]{b^3} = \sqrt[12]{a^{24} \cdot a^7} \cdot \sqrt[8]{b^3} = a^2\sqrt[12]{a^7} \cdot \sqrt[8]{b^3}\]