611 Упростите выражение: a) $$\frac{x^{-\frac{2}{3}}x^{\frac{5}{3}}}{x^{\frac{3}{5}}}$$; б) $$\frac{y^{\frac{3}{7}}y^{\frac{1}{2}}}{(y^{\frac{4}{7}})^{-2}}$$; в) $$\frac{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{3}{5}}}{a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{2}{5}}}$$; г) $$\frac{(c^{-\frac{2}{3}})^{-4}}{c^{\frac{1}{6}}c^{\frac{1}{2}}}$$; д) $$\frac{a^{\frac{1}{2}}5\sqrt{b^{2}}}{a^{-\frac{1}{2}}b^{1,4}}$$; e) $$\frac{x^{\frac{1}{3}}\sqrt{y}}{(x^{-\frac{1}{3}}y^{0,5})^{5}}$$.

a) $$\frac{x^{-\frac{2}{3}}x^{\frac{5}{3}}}{x^{\frac{3}{5}}}$$;

Чтобы упростить данное выражение, нужно воспользоваться свойствами степеней.

1. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $$x^m \cdot x^n = x^{m+n}$$.

2. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $$\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$$.

3. Отрицательная степень: $$x^{-n} = \frac{1}{x^n}$$.

1. Упростим числитель: $$x^{-\frac{2}{3}}x^{\frac{5}{3}} = x^{-\frac{2}{3}+\frac{5}{3}} = x^{\frac{3}{3}} = x^1 = x$$.
2. Разделим числитель на знаменатель: $$\frac{x}{x^{\frac{3}{5}}} = x^{1-\frac{3}{5}} = x^{\frac{5}{5}-\frac{3}{5}} = x^{\frac{2}{5}}$$.

Ответ: $$x^{\frac{2}{5}}$$

---

б) $$\frac{y^{\frac{3}{7}}y^{\frac{1}{2}}}{(y^{\frac{4}{7}})^{-2}}$$;

1. Упростим числитель: $$y^{\frac{3}{7}}y^{\frac{1}{2}} = y^{\frac{3}{7}+\frac{1}{2}} = y^{\frac{6}{14}+\frac{7}{14}} = y^{\frac{13}{14}}$$.
2. Упростим знаменатель, используя свойство степени степени: $$(a^m)^n = a^{m\cdot n}$$.$$(y^{\frac{4}{7}})^{-2} = y^{\frac{4}{7}\cdot (-2)} = y^{-\frac{8}{7}}$$.
3. Разделим числитель на знаменатель: $$\frac{y^{\frac{13}{14}}}{y^{-\frac{8}{7}}} = y^{\frac{13}{14}-(-\frac{8}{7})} = y^{\frac{13}{14}+\frac{16}{14}} = y^{\frac{29}{14}}$$.

Ответ: $$y^{\frac{29}{14}}$$

---

в) $$\frac{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{3}{5}}}{a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{2}{5}}}$$;

1. Разделим степени с одинаковыми основаниями: $$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}}} = a^{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}} = a^{\frac{2}{4}-\frac{1}{4}} = a^{\frac{1}{4}}$$.$$\frac{b^{\frac{3}{5}}}{b^{\frac{2}{5}}} = b^{\frac{3}{5}-\frac{2}{5}} = b^{\frac{1}{5}}$$.

Объединим результаты: $$a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{5}}$$.

Ответ: $$a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{5}}$$

---

г) $$\frac{(c^{-\frac{2}{3}})^{-4}}{c^{\frac{1}{6}}c^{\frac{1}{2}}}$$;

1. Упростим числитель: $$(c^{-\frac{2}{3}})^{-4} = c^{-\frac{2}{3} \cdot (-4)} = c^{\frac{8}{3}}$$.
2. Упростим знаменатель: $$c^{\frac{1}{6}}c^{\frac{1}{2}} = c^{\frac{1}{6}+\frac{1}{2}} = c^{\frac{1}{6}+\frac{3}{6}} = c^{\frac{4}{6}} = c^{\frac{2}{3}}$$.
3. Разделим числитель на знаменатель: $$\frac{c^{\frac{8}{3}}}{c^{\frac{2}{3}}} = c^{\frac{8}{3}-\frac{2}{3}} = c^{\frac{6}{3}} = c^2$$.

Ответ: $$c^2$$

---

д) $$\frac{a^{\frac{1}{2}}5\sqrt{b^{2}}}{a^{-\frac{1}{2}}b^{1,4}}$$;

1. Упростим числитель: $$a^{\frac{1}{2}}5\sqrt{b^{2}} = a^{\frac{1}{2}}5b$$.
2. Разделим числитель на знаменатель: $$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{-\frac{1}{2}}} = a^{\frac{1}{2}-(-\frac{1}{2})} = a^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} = a^1 = a$$.$$\frac{5b}{b^{1,4}} = 5b^{1-1,4} = 5b^{-0,4}$$.

Объединим результаты: $$5ab^{-0,4}$$.

Ответ: $$5ab^{-0,4}$$

---

e) $$\frac{x^{\frac{1}{3}}\sqrt{y}}{(x^{-\frac{1}{3}}y^{0,5})^{5}}$$.

1. Упростим числитель: $$x^{\frac{1}{3}}\sqrt{y} = x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{2}}$$.
2. Упростим знаменатель: $$(x^{-\frac{1}{3}}y^{0,5})^{5} = x^{-\frac{1}{3} \cdot 5}y^{0,5 \cdot 5} = x^{-\frac{5}{3}}y^{2,5}$$.
3. Разделим числитель на знаменатель: $$\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{-\frac{5}{3}}} = x^{\frac{1}{3}-(-\frac{5}{3})} = x^{\frac{1}{3}+\frac{5}{3}} = x^{\frac{6}{3}} = x^2$$.$$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{y^{2,5}} = y^{\frac{1}{2}-2,5} = y^{-2}$$.

Объединим результаты: $$x^2y^{-2}$$.

Ответ: $$x^2y^{-2}$$