Упростите выражение: (x-y)/x - (y-x)/y : (x-y)/xy

Решение:

Для упрощения выражения сначала приведём к общему знаменателю разность дробей в скобках:

\[ \left( \frac{x-y}{x} - \frac{y-x}{y} \right) = \left( \frac{y(x-y)}{xy} - \frac{x(y-x)}{xy} \right) = \left( \frac{xy - y^2 - (xy - x^2)}{xy} \right) = \left( \frac{xy - y^2 - xy + x^2}{xy} \right) = \frac{x^2 - y^2}{xy} \]

Теперь выполним деление:

\[ \frac{x^2 - y^2}{xy} : \frac{x-y}{xy} = \frac{x^2 - y^2}{xy} \cdot \frac{xy}{x-y} \]

Воспользуемся формулой разности квадратов \( x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) \):

\[ \frac{(x-y)(x+y)}{xy} \cdot \frac{xy}{x-y} \]

Сократим общие множители \( (x-y) \) и \( xy \):

\[ \frac{\cancel{(x-y)}(x+y)}{\cancel{xy}} \cdot \frac{\cancel{xy}}{\cancel{x-y}} = x+y \]

Ответ: x + y