Упростите выражение: $$\left(\frac{2a+1}{a^2-9}\right)^{-1} \cdot \left(\frac{4a}{2a-1} - \frac{12a+1}{2a^2+5a-3}\right)$$

Решение:

Для начала преобразуем первое слагаемое:

\( \left(\frac{2a+1}{a^2-9}\right)^{-1} = \frac{a^2-9}{2a+1} = \frac{(a-3)(a+3)}{2a+1} \)

Теперь разложим знаменатель второго слагаемого на множители:

\( 2a^2+5a-3 \). Найдем корни уравнения \( 2a^2+5a-3=0 \):

\[ a = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{-5 \pm 7}{4} \]

Корни: \( a_1 = \frac{-5+7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \), \( a_2 = \frac{-5-7}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \).

Значит, \( 2a^2+5a-3 = 2(a - \frac{1}{2})(a - (-3)) = (2a-1)(a+3) \).

Теперь приведём дробь \( \frac{12a+1}{2a^2+5a-3} \) к общему знаменателю:

\( \frac{12a+1}{(2a-1)(a+3)} \)

Теперь вычтем дроби во второй скобке:

\( \frac{4a}{2a-1} - \frac{12a+1}{2a^2+5a-3} = \frac{4a(a+3)}{(2a-1)(a+3)} - \frac{12a+1}{(2a-1)(a+3)} = \frac{4a^2+12a - (12a+1)}{(2a-1)(a+3)} = \frac{4a^2+12a-12a-1}{(2a-1)(a+3)} = \frac{4a^2-1}{(2a-1)(a+3)} \)

Заметим, что \( 4a^2-1 = (2a-1)(2a+1) \).

Таким образом, вторая скобка равна:

\( \frac{(2a-1)(2a+1)}{(2a-1)(a+3)} = \frac{2a+1}{a+3} \)

Теперь перемножим результаты:

\( \frac{(a-3)(a+3)}{2a+1} \cdot \frac{2a+1}{a+3} \)

Сократим одинаковые множители:

\( \frac{(a-3)\cancel{(a+3)}}{\cancel{2a+1}} \cdot \frac{\cancel{2a+1}}{\cancel{a+3}} = a-3 \)

Ответ: $$a-3$$