Упростите выражение: \( \left( (c+y) \left( \frac{y^3}{c-y} \right)^{-1} - c^2 y^{-5} \right)^{-2} \)

Решение:

Для упрощения данного выражения, последовательно преобразуем его:

1. Рассмотрим выражение внутри скобок: \( (c+y) \left( \frac{y^3}{c-y} \right)^{-1} - c^2 y^{-5} \).
2. Перевернём дробь в отрицательной степени: \( \left( \frac{y^3}{c-y} \right)^{-1} = \frac{c-y}{y^3} \).
3. Подставим обратно: \( (c+y) \frac{c-y}{y^3} - c^2 y^{-5} \).
4. Приведём к общему знаменателю: \( \frac{(c+y)(c-y)}{y^3} - \frac{c^2}{y^5} = \frac{c^2-y^2}{y^3} - \frac{c^2}{y^5} \).
5. Найдем общий знаменатель \( y^5 \): \( \frac{(c^2-y^2)y^2}{y^5} - \frac{c^2}{y^5} = \frac{c^2y^2 - y^4 - c^2}{y^5} \).
6. Теперь возведём полученное выражение в степень -2: \( \left( \frac{c^2y^2 - y^4 - c^2}{y^5} \right)^{-2} = \left( \frac{y^5}{c^2y^2 - y^4 - c^2} \right)^{2} = \frac{y^{10}}{(c^2y^2 - y^4 - c^2)^2} \).

Ответ: \( \frac{y^{10}}{(c^2y^2 - y^4 - c^2)^2} \)