Упростите выражение и найдите его значение при x = 3, y = 1: (4y/(3x+3y) - xy/(x^2-y^2)) * (3x^2+6xy+3y^2)/(x-4y)

Решение:

1. Приведем дроби в первой скобке к общему знаменателю \( (3x+3y)(x^2-y^2) \). \( x^2-y^2 = (x-y)(x+y) \). \( 3x+3y = 3(x+y) \). Общий знаменатель \( 3(x+y)(x-y)(x+y) = 3(x+y)^2(x-y) \).

2. Выполним преобразование первой скобки:

   \[ \left( \frac{4y}{3(x+y)} - \frac{xy}{(x-y)(x+y)} \right) \cdot \frac{3(x^2+2xy+y^2)}{x-4y} \]

3. Найдем общий знаменатель для первой скобки: \( 3(x+y)(x-y) \).

   \[ \left( \frac{4y(x-y)}{3(x+y)(x-y)} - \frac{3xy}{3(x+y)(x-y)} \right) \cdot \frac{3(x+y)^2}{x-4y} \]

4. Упростим числитель первой дроби:

   \( 4y(x-y) - 3xy = 4xy - 4y^2 - 3xy = xy - 4y^2 \)

5. Подставим обратно в выражение:

   \[ \left( \frac{xy - 4y^2}{3(x+y)(x-y)} \right) \cdot \frac{3(x+y)^2}{x-4y} \]

6. Сократим 3 и \( (x+y) \):

   \[ \frac{y(x - 4y)}{3(x+y)(x-y)} \cdot \frac{3(x+y)^2}{x-4y} = \frac{y(x - 4y)}{(x+y)(x-y)} \cdot \frac{(x+y)^2}{x-4y} \]

7. Сократим \( (x-4y) \) и \( (x+y) \):

   \( \frac{y}{x-y} \cdot (x+y) = \frac{y(x+y)}{x-y} \)

8. Теперь подставим значения \( x = 3 \) и \( y = 1 \):

   \( \frac{1(3+1)}{3-1} = \frac{1 \cdot 4}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

Ответ: 2