Упростите выражение и найдите его значение при x = 2 + 3√7, y = 2 - 3√7: (3x / (x - y)) - (3y / (x + y)) : ((x² + y²) / (x² - 2xy + y²))

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Упрощение первой части выражения:
   \[ \frac{3x}{x-y} - \frac{3y}{x+y} = \frac{3x(x+y) - 3y(x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{3x^2 + 3xy - 3xy + 3y^2}{x^2 - y^2} = \frac{3(x^2 + y^2)}{x^2 - y^2} \]
2. Упрощение второй части выражения:
   \[ \frac{x^2 + y^2}{x^2 - 2xy + y^2} = \frac{x^2 + y^2}{(x-y)^2} \]
3. Деление выражений:
   \[ \frac{3(x^2 + y^2)}{x^2 - y^2} : \frac{x^2 + y^2}{(x-y)^2} = \frac{3(x^2 + y^2)}{x^2 - y^2} \cdot \frac{(x-y)^2}{x^2 + y^2} = \frac{3(x-y)^2}{x^2 - y^2} \]
4. Подстановка значений:
   Дано: \( x = 2 + 3\sqrt{7} \) и \( y = 2 - 3\sqrt{7} \).
   Заметим, что \( x + y = (2 + 3\sqrt{7}) + (2 - 3\sqrt{7}) = 4 \) и \( x - y = (2 + 3\sqrt{7}) - (2 - 3\sqrt{7}) = 6\sqrt{7} \).
   Также \( y = -x + 4 \).
   Подставляем в упрощенное выражение: \( x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) = (6\sqrt{7})(4) = 24\sqrt{7} \).
   И \( (x-y)^2 = (6\sqrt{7})^2 = 36 \cdot 7 = 252 \).
   \[ \frac{3 \cdot 252}{24\sqrt{7}} = \frac{3 \cdot 252}{24 \sqrt{7}} = \frac{756}{24\sqrt{7}} \]
5. Дальнейшее упрощение:
   \[ \frac{756}{24\sqrt{7}} = \frac{31.5}{\sqrt{7}} \]
6. Избавимся от иррациональности в знаменателе:
   \[ \frac{31.5}{\sqrt{7}} = \frac{31.5 \cdot \sqrt{7}}{7} = 4.5\sqrt{7} \]
7. Альтернативный путь с учетом y = -x + 4:
   В исходном выражении y = 2 - 3√7. В условии x = 2 + 3√7. Тогда x+y = 4. x-y = 6√7.
   Но если подставить y = -x, то выражение станет проще.
   Давайте проверим условие: x=2+3√7, y=2-3√7. Здесь y не равно -x.
8. Пересчет значения:
   \( x = 2 + 3\sqrt{7} \), \( y = 2 - 3\sqrt{7} \)
   \( x-y = (2+3\sqrt{7}) - (2-3\sqrt{7}) = 6\sqrt{7} \)
   \( x+y = (2+3\sqrt{7}) + (2-3\sqrt{7}) = 4 \)
   \( x^2 = (2+3\sqrt{7})^2 = 4 + 12\sqrt{7} + 9 \cdot 7 = 4 + 12\sqrt{7} + 63 = 67 + 12\sqrt{7} \)
   \( y^2 = (2-3\sqrt{7})^2 = 4 - 12\sqrt{7} + 9 \cdot 7 = 4 - 12\sqrt{7} + 63 = 67 - 12\sqrt{7} \)
   \( x^2+y^2 = (67+12\sqrt{7}) + (67-12\sqrt{7}) = 134 \)
   \( x^2-y^2 = (67+12\sqrt{7}) - (67-12\sqrt{7}) = 24\sqrt{7} \)
   \( (x-y)^2 = (6\sqrt{7})^2 = 36 \times 7 = 252 \)
9. Подставляем в упрощенное выражение: \( \frac{3(x-y)^2}{x^2 - y^2} \)
   \[ \frac{3 × 252}{24\sqrt{7}} = \frac{756}{24\sqrt{7}} = \frac{31.5}{\sqrt{7}} = \frac{31.5 \sqrt{7}}{7} = 4.5\sqrt{7} \]
10. Еще один взгляд на задачу:
    Из условия \(x=2+3\text{√}7\) и \(y=2-3\text{√}7\).
    \(x-y = (2+3\text{√}7)-(2-3\text{√}7) = 6\text{√}7\).
    \(x+y = (2+3\text{√}7)+(2-3\text{√}7) = 4\).
    \(x^2-y^2 = (x-y)(x+y) = (6\text{√}7)(4) = 24\text{√}7\).
    \((x-y)^2 = (6\text{√}7)^2 = 36 \times 7 = 252\).
    Выражение: \(\frac{3(x-y)^2}{x^2-y^2}\).
    Подставляем значения: \(\frac{3 \times 252}{24\text{√}7} = \frac{756}{24\text{√}7} = \frac{31.5}{\text{√}7} = \frac{31.5 \times \text{√}7}{7} = 4.5\text{√}7\).
11. Проверка:
    \(x × y = (2+3\text{√}7)(2-3\text{√}7) = 2^2 - (3\text{√}7)^2 = 4 - (9 \times 7) = 4 - 63 = -59\).
    \(x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2 = (6\text{√}7)^2 = 252\).
    \(x^2+y^2 = (x-y)^2 + 2xy = 252 + 2(-59) = 252 - 118 = 134\).
    Итак, \(\frac{3(x^2+y^2)}{x^2-y^2} : \frac{x^2+y^2}{(x-y)^2} = \frac{3(x^2+y^2)}{x^2-y^2} \times \frac{(x-y)^2}{x^2+y^2} = \frac{3(x-y)^2}{x^2-y^2}\).
    \(\frac{3 \times 252}{24\text{√}7} = \frac{756}{24\text{√}7} = \frac{31.5}{\text{√}7} = 4.5\text{√}7\).

Ответ: 4.5√7