Упростите выражение и найдите его значение при x = 2 + 3√7, y = 2 - 3√7:

Задание 1.

Упростим выражение:

• \[ \left( \frac{3x}{x-y} - \frac{3y}{x+y} \right) : \frac{x^2+y^2}{x^2-2xy+y^2} = \frac{3x(x+y) - 3y(x-y)}{(x-y)(x+y)} \cdot \frac{(x-y)^2}{x^2+y^2} \]
• \[ = \frac{3x^2+3xy - 3xy+3y^2}{x^2-y^2} \cdot \frac{(x-y)^2}{x^2+y^2} = \frac{3(x^2+y^2)}{x^2-y^2} \cdot \frac{(x-y)^2}{x^2+y^2} \]
• \[ = \frac{3(x-y)^2}{x^2-y^2} = \frac{3(x-y)^2}{(x-y)(x+y)} = \frac{3(x-y)}{x+y} \]

Найдем значение выражения при заданных x и y:

• \[ x - y = (2 + 3\sqrt{7}) - (2 - 3\sqrt{7}) = 2 + 3\sqrt{7} - 2 + 3\sqrt{7} = 6\sqrt{7} \]
• \[ x + y = (2 + 3\sqrt{7}) + (2 - 3\sqrt{7}) = 2 + 3\sqrt{7} + 2 - 3\sqrt{7} = 4 \]
• \[ \frac{3(x-y)}{x+y} = \frac{3 \cdot 6\sqrt{7}}{4} = \frac{18\sqrt{7}}{4} = \frac{9\sqrt{7}}{2} \]

Ответ: olimitsrac{9 ext{sqrt}(7)}{2}