Упростите выражение: \(\frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 - 6x + 9} : \left(\frac{x^2 + 3x}{x - 3}\right)^5\)

Решение:

1. Разложим числитель и знаменатель первой дроби на множители:
• Числитель: \( x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 \) (формула квадрата суммы).
• Знаменатель: \( x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 \) (формула квадрата разности).
2. Первая дробь примет вид: \( \frac{(x + 3)^2}{(x - 3)^2} \).
3. Вторая дробь: \( \frac{x^2 + 3x}{x - 3} = \frac{x(x + 3)}{x - 3} \).
4. Возведём вторую дробь в пятую степень: \( \left(\frac{x(x + 3)}{x - 3}\right)^5 = \frac{x^5 (x + 3)^5}{(x - 3)^5} \).
5. Теперь выполним деление дробей (делимое умножаем на перевёрнутую дробь-делитель):
• \( \frac{(x + 3)^2}{(x - 3)^2} : \frac{x^5 (x + 3)^5}{(x - 3)^5} = \frac{(x + 3)^2}{(x - 3)^2} \cdot \frac{(x - 3)^5}{x^5 (x + 3)^5} \)
6. Сократим общие множители:
• \( \frac{(x + 3)^2}{(x - 3)^2} \cdot \frac{(x - 3)^5}{x^5 (x + 3)^5} = \frac{(x - 3)^{5-2}}{x^5 (x + 3)^{5-2}} = \frac{(x - 3)^3}{x^5 (x + 3)^3} \)

Ответ: \( \frac{(x - 3)^3}{x^5 (x + 3)^3} \).