Упростите выражение: \( \frac{\sin(\alpha + \beta) - \cos\alpha \sin\beta}{\sin\alpha \sin\beta} \)

Решение:

Воспользуемся формулой синуса суммы \( \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta \).

Подставим эту формулу в числитель выражения:

\[ \frac{(\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta) - \cos\alpha \sin\beta}{\sin\alpha \sin\beta} \]\[ \frac{\sin\alpha \cos\beta}{\sin\alpha \sin\beta} \]

Сократим \( \sin\alpha \) в числителе и знаменателе:

\[ \frac{\cos\beta}{\sin\beta} \]

Это выражение равно котангенсу \( \beta \).

\[ \operatorname{ctg}(\beta) \]

Ответ: \( \operatorname{ctg}(\beta) \).