Упростите выражение $$ \frac{7}{x^2-y^2} - \frac{5}{xy-x^2} - \frac{12}{x^2+xy} $$

Привет! Давай разберем это задание по алгебре вместе. Нам нужно упростить вот такое выражение:

• \[ \frac{7}{x^2-y^2} - \frac{5}{xy-x^2} - \frac{12}{x^2+xy} \]

Шаг 1: Разложим знаменатели на множители.

1. Первый знаменатель:

   \[ x^2-y^2 = (x-y)(x+y) \]

2. Второй знаменатель:

   \[ xy-x^2 = x(y-x) = -x(x-y) \]

3. Третий знаменатель:

   \[ x^2+xy = x(x+y) \]

Шаг 2: Приведем дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель будет

\[ -x(x-y)(x+y) \]

или, что то же самое,

\[ x(x-y)(x+y) \]

. Давайте использовать второй вариант.

Теперь домножим числители:

• Первая дробь:

  \[ \frac{7}{(x-y)(x+y)} = \frac{7 × x}{x(x-y)(x+y)} = \frac{7x}{x(x-y)(x+y)} \]

• Вторая дробь:

  \[ -\frac{5}{-x(x-y)} = \frac{5}{x(x-y)} = \frac{5 × (x+y)}{x(x-y)(x+y)} = \frac{5(x+y)}{x(x-y)(x+y)} \]

• Третья дробь:

  \[ -\frac{12}{x(x+y)} = \frac{-12 × (x-y)}{x(x-y)(x+y)} = \frac{-12(x-y)}{x(x-y)(x+y)} \]

Шаг 3: Сложим числители.

Теперь у нас получилось:

\[ \frac{7x - 5(x+y) - 12(x-y)}{x(x-y)(x+y)} \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ 7x - 5x - 5y - 12x + 12y \]

Приведем подобные слагаемые:

\[ (7x - 5x - 12x) + (-5y + 12y) = -10x + 7y \]

Шаг 4: Запишем окончательный ответ.

Получаем:

\[ \frac{-10x + 7y}{x(x-y)(x+y)} \]

Или, если поменять местами слагаемые в числителе:

\[ \frac{7y - 10x}{x(x-y)(x+y)} \]

Ответ:

\[ \frac{7y - 10x}{x(x-y)(x+y)} \]