Упростите выражение: $$ \frac{6}{a-1} - \frac{10}{(a-1)^2} : \frac{10}{a^2-1} - \frac{2a+2}{a-1} $$

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Приводим первые две дроби к общему знаменателю $$ (a-1)^2 $$: $$ \frac{6}{a-1} - \frac{10}{(a-1)^2} = \frac{6(a-1)}{(a-1)^2} - \frac{10}{(a-1)^2} = \frac{6a - 6 - 10}{(a-1)^2} = \frac{6a - 16}{(a-1)^2} $$
2. Шаг 2: Заменяем деление умножением и раскладываем знаменатель третьей дроби на множители $$ a^2 - 1 = (a-1)(a+1) $$: $$ \frac{10}{a^2-1} = \frac{10}{(a-1)(a+1)} $$
3. Шаг 3: Выполняем деление (умножение на обратную дробь): $$ \frac{6a - 16}{(a-1)^2} : \frac{10}{(a-1)(a+1)} = \frac{6a - 16}{(a-1)^2} \cdot \frac{(a-1)(a+1)}{10} = \frac{(6a - 16)(a+1)}{10(a-1)} $$
4. Шаг 4: Приводим оставшиеся дроби к общему знаменателю $$ 10(a-1) $$: $$ \frac{(6a - 16)(a+1)}{10(a-1)} - \frac{2a+2}{a-1} = \frac{(6a - 16)(a+1)}{10(a-1)} - \frac{10(2a+2)}{10(a-1)} $$
5. Шаг 5: Раскрываем скобки и упрощаем числитель: $$ \frac{6a^2 + 6a - 16a - 16 - (20a + 20)}{10(a-1)} = \frac{6a^2 - 10a - 16 - 20a - 20}{10(a-1)} = \frac{6a^2 - 30a - 36}{10(a-1)} $$
6. Шаг 6: Выносим общий множитель 6 из числителя: $$ \frac{6(a^2 - 5a - 6)}{10(a-1)} $$
7. Шаг 7: Раскладываем квадратный трехчлен $$ a^2 - 5a - 6 $$ на множители. Корни уравнения $$ a^2 - 5a - 6 = 0 $$: $$ D = (-5)^2 - 4(1)(-6) = 25 + 24 = 49 $$ $$ a_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2} = \frac{5+7}{2} = 6 $$ $$ a_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2} = \frac{5-7}{2} = -1 $$ Значит, $$ a^2 - 5a - 6 = (a-6)(a-(-1)) = (a-6)(a+1) $$
8. Шаг 8: Подставляем разложенный трехчлен обратно в дробь: $$ \frac{6(a-6)(a+1)}{10(a-1)} $$

Ответ: $$ \frac{6(a-6)(a+1)}{10(a-1)} $$