Упростите выражение: ($\frac{5m^{-4}}{6n^{-1}}$)^{-3} $\times$ 125m^{-10}n^{-2}

Question

$Фото задания: Упростите выражение: ($\frac{5m^{-4}}{6n^{-1}}$)^{-3} $\times$ 125m^{-10}n^{-2}$ Фото задания

Accepted Answer

Для упрощения выражения раскроем скобки, применяя свойства степеней: $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $ и $ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $.

Возведём дробь в степень $-3$:
$ \left(\frac{5m^{-4}}{6n^{-1}}\right)^{-3} = \frac{(5m^{-4})^{-3}}{(6n^{-1})^{-3}} = \frac{5^{-3}m^{12}}{6^{-3}n^{3}} $
Перевернём дробь, так как степень отрицательная:
$ \frac{6^3 n^{-3}}{5^3 m^{-12}} = \frac{216 m^{12}}{125 n^{3}} $
Теперь умножим полученное выражение на $ 125m^{-10}n^{-2} $:
$ \frac{216 m^{12}}{125 n^{3}} \times 125m^{-10}n^{-2} $
Сократим $ 125 $ и перемножим степени с одинаковым основанием $ m $ и $ n $, используя правило $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $:
$ 216 \cdot m^{12+(-10)} \cdot n^{-3+(-2)} = 216 \cdot m^{2} \cdot n^{-5} $
Запишем результат, представив отрицательную степень как дробь: $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $.
$ 216 m^{2} n^{-5} = \frac{216 m^{2}}{n^{5}} $

Ответ: $ \frac{216 m^{2}}{n^{5}} $.

Упростите выражение: (\(\frac{5m^{-4}}{6n^{-1}}\))^{-3} \(\times\) 125m^{-10}n^{-2}