Упростите выражение, если n — натуральное число: 15^n 3^n * 1.5^(n+1)

Решение:

Нужно упростить выражение \( \frac{15^n}{3^n \cdot 1.5^{n+1}} \). Используем свойства степеней.

1. Представим число 15 как произведение 3 и 5: \( 15^n = (3 \cdot 5)^n = 3^n \cdot 5^n \).
2. Представим число 1.5 как дробь \( \frac{3}{2} \): \( 1.5^{n+1} = (\frac{3}{2})^{n+1} = \frac{3^{n+1}}{2^{n+1}} \).
3. Подставим это в исходное выражение:

\[ \frac{3^n \cdot 5^n}{3^n \cdot \frac{3^{n+1}}{2^{n+1}}} \]\[ = \frac{3^n \cdot 5^n \cdot 2^{n+1}}{3^n \cdot 3^{n+1}} \]\[ = \frac{5^n \cdot 2^{n+1}}{3^{n+1}} \]\[ = \frac{5^n \cdot 2^n \cdot 2^1}{3^n \cdot 3^1} \]\[ = \frac{(5 \cdot 2)^n \cdot 2}{(3 \cdot 3)^n} \]\[ = \frac{10^n \cdot 2}{9^n} \]\[ = 2 \cdot \frac{10^n}{9^n} \]\[ = 2 \cdot (\frac{10}{9})^n \]

Рассмотрим другой вариант преобразования:

\[ \frac{15^n}{3^n \cdot 1.5^{n+1}} = \frac{(3 \cdot 5)^n}{3^n \cdot (1.5)^n \cdot 1.5} \]\[ = \frac{3^n \cdot 5^n}{3^n \cdot (1.5)^n \cdot 1.5} \]\[ = \frac{5^n}{(1.5)^n \cdot 1.5} \]\[ = \frac{(\frac{5}{1.5})^n}{1.5} \]\[ = \frac{(\frac{5}{\frac{3}{2}})^n}{1.5} \]\[ = \frac{(\frac{10}{3})^n}{1.5} \]\[ = \frac{(\frac{10}{3})^n}{\frac{3}{2}} \]\[ = \frac{2}{3} \cdot (\frac{10}{3})^n \]\[ = \frac{2}{3} \cdot \frac{10^n}{3^n} \]\[ = \frac{2 \cdot 10^n}{3^{n+1}} \]

Проверим первоначальное преобразование:

\[ \frac{15^n}{3^n \cdot 1.5^{n+1}} = \frac{(3 x 5)^n}{3^n x (\frac{3}{2})^{n+1}} = \frac{3^n x 5^n}{3^n x \frac{3^{n+1}}{2^{n+1}}} = \frac{5^n x 2^{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{5^n x 2^n x 2}{3^n x 3} = \frac{10^n x 2}{3^{n+1}} = \frac{2 x 10^n}{3^{n+1}} \]

Снова представим 15 как \( 3 \times 5 \) и \( 1.5 \) как \( \frac{3}{2} \):

\[ \frac{15^n}{3^n \times 1.5^{n+1}} = \frac{(3 \times 5)^n}{3^n \times (\frac{3}{2})^{n+1}} = \frac{3^n \times 5^n}{3^n \times \frac{3^{n+1}}{2^{n+1}}} = \frac{5^n \times 2^{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{5^n \times 2^n \times 2}{3^{n+1}} = \frac{(5 \times 2)^n \times 2}{3^{n+1}} = \frac{10^n \times 2}{3^{n+1}} \]

Попробуем еще раз, более внимательно:

\[ \frac{15^n}{3^n \times 1.5^{n+1}} = \frac{(3 \times 5)^n}{3^n \times (\frac{3}{2})^{n+1}} = \frac{3^n \times 5^n}{3^n \times \frac{3^{n+1}}{2^{n+1}}} = \frac{5^n \times 2^{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{5^n \times 2^{n+1}}{3 \times 3^n} \]

Это не совсем верно. Перегруппируем:

\[ \frac{15^n}{3^n \times 1.5^{n+1}} = \frac{15^n}{3^n \times 1.5^n \times 1.5} = \frac{15^n}{(3 \times 1.5)^n \times 1.5} = \frac{15^n}{(4.5)^n \times 1.5} = \frac{(\frac{15}{4.5})^n}{1.5} \]\[ = \frac{(\frac{150}{45})^n}{1.5} = \frac{(\frac{10}{3})^n}{1.5} = \frac{(\frac{10}{3})^n}{\frac{3}{2}} = (\frac{10}{3})^n \times \frac{2}{3} = \frac{10^n \times 2}{3^n \times 3} = \frac{2 \times 10^n}{3^{n+1}} \]

Снова ошибка. Смотрим на знаменатель: \( 3^n \times 1.5^{n+1} = 3^n \times (\frac{3}{2})^{n+1} = 3^n \times \frac{3^{n+1}}{2^{n+1}} = \frac{3^{2n+1}}{2^{n+1}} \).

Числитель: \( 15^n = (3 \times 5)^n = 3^n \times 5^n \).

Делим числитель на знаменатель:

\[ \frac{3^n \times 5^n}{\frac{3^{2n+1}}{2^{n+1}}} = \frac{3^n \times 5^n \times 2^{n+1}}{3^{2n+1}} = \frac{5^n \times 2^{n+1}}{3^n} \]

Теперь используем \( 5^n \times 2^{n+1} = 5^n \times 2^n \times 2 = 10^n \times 2 \)

Таким образом, выражение равно:

\[ \frac{10^n \times 2}{3^n} = 2 \times (\frac{10}{3})^n \]

Проверим ещё раз, возможно, был простейший путь:

\[ \frac{15^n}{3^n \times 1.5^{n+1}} = \frac{(3 \times 5)^n}{3^n \times (1.5)^n \times 1.5} = \frac{3^n \times 5^n}{3^n \times (1.5)^n \times 1.5} = \frac{5^n}{(1.5)^n \times 1.5} \]\[ = \frac{(\frac{5}{1.5})^n}{1.5} = \frac{(\frac{5}{\frac{3}{2}})^n}{\frac{3}{2}} = \frac{(\frac{10}{3})^n}{\frac{3}{2}} = (\frac{10}{3})^n \times \frac{2}{3} = \frac{10^n \times 2}{3^n \times 3} = \frac{2 \times 10^n}{3^{n+1}} \]

Остановимся на этом варианте, так как он кажется наиболее логичным.

Ответ: \( \frac{2 \times 10^n}{3^{n+1}} \).