Упростите выражение: б) (\(\frac{a^{-2}b^{3}}{2}\))⁻⁴ · (\(\frac{b^{5}}{4a^{2}}\))³

Решение:

Для упрощения выражения применим свойства степеней:

1. Возведем первую дробь в степень -4: \( \left( \frac{a^{-2}b^{3}}{2} \right)^{-4} = \frac{(a^{-2})^{-4}(b^{3})^{-4}}{2^{-4}} = \frac{a^{8}b^{-12}}{\frac{1}{16}} = 16a^{8}b^{-12} \).
2. Возведем вторую дробь в степень 3: \( \left( \frac{b^{5}}{4a^{2}} \right)^{3} = \frac{(b^{5})^{3}}{(4a^{2})^{3}} = \frac{b^{15}}{4^{3}(a^{2})^{3}} = \frac{b^{15}}{64a^{6}} \).
3. Перемножим полученные выражения: \( 16a^{8}b^{-12} \cdot \frac{b^{15}}{64a^{6}} \).
4. Умножим числовые коэффициенты: \( 16 \cdot \frac{1}{64} = \frac{16}{64} = \frac{1}{4} \).
5. Упростим степени с основанием \( a \): \( a^{8} \cdot \frac{1}{a^{6}} = a^{8-6} = a^{2} \).
6. Упростим степени с основанием \( b \): \( b^{-12} \cdot b^{15} = b^{-12+15} = b^{3} \).

Объединяя полученные части, получаем:

\[ \frac{1}{4} a^{2} b^{3} \]