Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
14. Упростите выражение: 1) AB + CD + BM+MA+NK + DC; 2) AB-CD-AE + CF - EF. + BC + DD, + AB + CB, 1 1 = 23. Дан прямоугольный параллелепипед АBCDABCD₁. Докажите, что АС + АА - АС -AA 24. Сторона основания правильной пирамиды МABCD равна 2 см. Найдите модуль вектора т = AM + AD - BM.
Ответ:
Краткое пояснение: В первом задании упрощаем векторное выражение, используя свойства сложения векторов. Во втором задании также упрощаем векторное выражение, используя свойства вычитания векторов.
14. Упростите выражение:
1) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{NK} + \overrightarrow{DC}\)
- Сгруппируем векторы, которые могут быть упрощены: \[\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{NK}\]
- Используем свойство \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AM}\): \[\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{NK}\]
- Используем свойство \(\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}\) и \(\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{CC} = \overrightarrow{0}\): \[\overrightarrow{0} + \overrightarrow{0} + \overrightarrow{NK}\]
- Получаем: \[\overrightarrow{NK}\]
Ответ: \(\overrightarrow{NK}\)
2) \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{CF} - \overrightarrow{EF}\)
- Преобразуем вычитание в сложение с противоположным вектором: \[\overrightarrow{AB} + (-\overrightarrow{CD}) + (-\overrightarrow{AE}) + \overrightarrow{CF} + (-\overrightarrow{EF})\]
- Изменим порядок векторов для удобства: \[\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{CF} - \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{EF}\]
- Используем свойство \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{EB}\) и \(\overrightarrow{CF} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{DF}\): \[\overrightarrow{EB} + \overrightarrow{DF} - \overrightarrow{EF}\]
- Преобразуем \(-\overrightarrow{EF}\) в \(+\overrightarrow{FE}\): \[\overrightarrow{EB} + \overrightarrow{DF} + \overrightarrow{FE}\]
- Используем свойство сложения векторов: \[\overrightarrow{EB} + \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{DB}\]
18. Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите сумму \(\overrightarrow{A_1A} + \overrightarrow{B_1C_1} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DD_1} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB_1}\).
- Сгруппируем векторы, которые могут быть упрощены: \[\overrightarrow{A_1A} + \overrightarrow{DD_1} + \overrightarrow{B_1C_1} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB_1}\]
- Заметим, что \(\overrightarrow{A_1A} = -\overrightarrow{AA_1}\) и \(\overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AA_1}\), следовательно, \(\overrightarrow{A_1A} + \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{0}\): \[\overrightarrow{0} + \overrightarrow{B_1C_1} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB_1}\]
- Так как \(\overrightarrow{B_1C_1} = \overrightarrow{B C}\), следовательно, \(\overrightarrow{B_1C_1} + \overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{BC}\): \[2\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB_1}\]
- Сгруппируем векторы \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB_1} = \overrightarrow{BB_1}\): \[2\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB_1} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{AB} \]
- Далее, \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\): \[\overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{AC}\]
Ответ: \(\overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{AC}\)
23. Дан прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Докажите, что \(|\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA_1}| = |\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AA_1}|\).
- Рассмотрим вектор \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA_1}\). По правилу параллелепипеда, это вектор \(\overrightarrow{AC_1}\). Следовательно, \(|\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA_1}| = |\overrightarrow{AC_1}|\).
- Рассмотрим вектор \(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{A_1A}\). Это вектор, соединяющий точки \(A_1\) и \(C\). Следовательно, \(|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AA_1}| = |\overrightarrow{A_1C}|\).
- В прямоугольном параллелепипеде диагонали \(AC_1\) и \(A_1C\) равны по длине. Таким образом, \(|\overrightarrow{AC_1}| = |\overrightarrow{A_1C}|\).
Следовательно, \(|\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA_1}| = |\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AA_1}|\).
24. Сторона основания правильной пирамиды \(MABCD\) равна 2 см. Найдите модуль вектора \(\overrightarrow{m} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{BM}\).
- Преобразуем выражение: \[\overrightarrow{m} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{MB}\]
- Переставим векторы: \[\overrightarrow{m} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\]
- Вектор \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\) равен вектору \(\overrightarrow{AC}\), где \(C\) - противоположная вершина параллелограмма, построенного на векторах \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\). Так как \(ABCD\) - квадрат, \(\overrightarrow{AC}\) - диагональ квадрата.
- Длина диагонали квадрата со стороной 2 см равна \(2\sqrt{2}\) см.
Ответ: \(2\sqrt{2}\) см
