Упростите выражение: а) \(\vec{AB} + \vec{MN} + \vec{BC} + \vec{CA} + \vec{PQ} + \vec{NM}\) б) \(\vec{FK} + \vec{MQ} + \vec{KP} + \vec{AM} + \vec{QK} + \vec{PF}\) в) \(\vec{KM} + \vec{DF} + \vec{AC} + \vec{FK} + \vec{CD} + \vec{CA} + \vec{MP}\) г) \(\vec{AB} + \vec{BA} + \vec{CD} + \vec{MN} + \vec{DC} + \vec{NM}\)

Решение:

Для упрощения векторных выражений будем использовать правило сложения векторов (правило треугольника, правило параллелограмма) и свойство противоположных векторов (\(\vec{AB} = -\vec{BA}\)).

а) \(\vec{AB} + \vec{MN} + \vec{BC} + \vec{CA} + \vec{PQ} + \vec{NM}\)

Сгруппируем векторы, образующие замкнутые пути:

\(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{AA} = \vec{0}\)

\(\vec{MN} + \vec{NM} = \vec{NN} = \vec{0}\)

Остается вектор \(\vec{PQ}\).

Таким образом, \(\vec{AB} + \vec{MN} + \vec{BC} + \vec{CA} + \vec{PQ} + \vec{NM} = (\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA}) + (\vec{MN} + \vec{NM}) + \vec{PQ} = \vec{0} + \vec{0} + \vec{PQ} = \vec{PQ}\).

б) \(\vec{FK} + \vec{MQ} + \vec{KP} + \vec{AM} + \vec{QK} + \vec{PF}\)

Сгруппируем векторы:

\(\vec{FK} + \vec{KP} = \vec{FP}\)

\(\vec{MQ} + \vec{QK} = \vec{MK}\)

\(\vec{AM} + \vec{PF}\) — эти векторы не образуют замкнутого пути.

Перегруппируем: \(\vec{AM} + \vec{MQ} + \vec{QK} + \vec{KP} + \vec{PF} + \vec{FK}\)

\(\vec{AM} + \vec{MQ} = \vec{AQ}\)

\(\vec{AQ} + \vec{QK} = \vec{AK}\)

\(\vec{AK} + \vec{KP} = \vec{AP}\)

\(\vec{AP} + \vec{PF} = \vec{AF}\)

\(\vec{AF} + \vec{FK} = \vec{AK}\)

Второй вариант упрощения:

\(\vec{FK} + \vec{KP} = \vec{FP}\)

\(\vec{MQ} + \vec{QK} = \vec{MK}\)

\(\vec{AM}\) и \(\vec{PF}\) остаются.

\(\vec{FK} + \vec{MQ} + \vec{KP} + \vec{AM} + \vec{QK} + \vec{PF} = (\vec{FK} + \vec{KP}) + (\vec{MQ} + \vec{QK}) + \vec{AM} + \vec{PF} = \vec{FP} + \vec{MK} + \vec{AM} + \vec{PF}\)

\(\vec{FP} + \vec{PF} = \vec{0}\)

\(\vec{MK} + \vec{AM}\) — остаются.

Перегруппируем исходное выражение иначе:

\(\vec{AM} + \vec{MQ} + \vec{QK} + \vec{KP} + \vec{PF} + \vec{FK} = \vec{AK}\)

Это выражение также требует проверки. Будем следовать правилу замкнутого пути:

\(\vec{FK} + \vec{KP} = \vec{FP}\)

\(\vec{MQ} + \vec{QK} = \vec{MK}\)

\(\vec{AM} + \vec{PF}\)

\(\vec{FP} + \vec{PF} = \vec{0}\)

\(\vec{MK} + \vec{AM}\)

Еще раз перегруппируем:

\(\vec{AM} + \vec{MQ} + \vec{QK} + \vec{KP} + \vec{PF} + \vec{FK}\)

\(\vec{AM} + \vec{MQ} = \vec{AQ}\)

\(\vec{AQ} + \vec{QK} = \vec{AK}\)

\(\vec{AK} + \vec{KP} = \vec{AP}\)

\(\vec{AP} + \vec{PF} = \vec{AF}\)

\(\vec{AF} + \vec{FK} = \vec{AK}\)

Проверим задачу б) еще раз:

\(\vec{FK} + \vec{MQ} + \vec{KP} + \vec{AM} + \vec{QK} + \vec{PF}\)

Сгруппируем: \(\vec{AM} + \vec{MQ} + \vec{QK} + \vec{KP} + \vec{PF} + \vec{FK}\)

\(\vec{AM} + \vec{MQ} = \vec{AQ}\)

\(\vec{AQ} + \vec{QK} = \vec{AK}\)

\(\vec{AK} + \vec{KP} = \vec{AP}\)

\(\vec{AP} + \vec{PF} = \vec{AF}\)

\(\vec{AF} + \vec{FK} = \vec{AK}\)

Ответ для б) должен быть \(\vec{AK}\)

в) \(\vec{KM} + \vec{DF} + \vec{AC} + \vec{FK} + \vec{CD} + \vec{CA} + \vec{MP}\)

Сгруппируем векторы, образующие замкнутые пути:

\(\vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DF} + \vec{FK} + \vec{KM} + \vec{MP} = \vec{AF}\)

\(\vec{CA} + \vec{AC} = \vec{0}\)

\(\vec{DF} + \vec{FK} + \vec{KM} + \vec{MP} = \vec{DP}\)

\(\vec{AC} + \vec{CD} + \vec{CA} = \vec{AA} = \vec{0}\)

\(\vec{DF} + \vec{FK} = \vec{DK}\)

\(\vec{KM} + \vec{MP} = \vec{KP}\)

\(\vec{DK} + \vec{KP} = \vec{DP}\)

Таким образом: \(\vec{KM} + \vec{DF} + \vec{AC} + \vec{FK} + \vec{CD} + \vec{CA} + \vec{MP} = (\vec{AC} + \vec{CD} + \vec{CA}) + (\vec{DF} + \vec{FK} + \vec{KM} + \vec{MP}) = \vec{0} + \vec{DP} = \vec{DP}\).

г) \(\vec{AB} + \vec{BA} + \vec{CD} + \vec{MN} + \vec{DC} + \vec{NM}\)

Используем свойство противоположных векторов \(\vec{BA} = -\vec{AB}\) и \(\vec{NM} = -\vec{MN}\) и \(\vec{DC} = -\vec{CD}\).

\(\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{AB} - \vec{AB} = \vec{0}\)

\(\vec{CD} + \vec{DC} = \vec{CD} - \vec{CD} = \vec{0}\)

\(\vec{MN} + \vec{NM} = \vec{MN} - \vec{MN} = \vec{0}\)

Следовательно, \(\vec{AB} + \vec{BA} + \vec{CD} + \vec{MN} + \vec{DC} + \vec{NM} = \vec{0} + \vec{0} + \vec{0} = \vec{0}\).

Ответ: а) \(\vec{PQ}\); б) \(\vec{AK}\); в) \(\vec{DP}\); г) \(\vec{0}\).