Упростите выражение: a) \(\frac{2m+1}{2m-1} - \frac{2m-1}{2m+1} : \frac{4m}{10m-5}\)

Решение:

1. Приведем разность дробей к общему знаменателю: \[ \frac{2m+1}{2m-1} - \frac{2m-1}{2m+1} = \frac{(2m+1)^2 - (2m-1)^2}{(2m-1)(2m+1)} = \frac{(4m^2+4m+1) - (4m^2-4m+1)}{4m^2-1} = \frac{8m}{4m^2-1} \]
2. Представим деление как умножение на обратную дробь: \[ \frac{8m}{4m^2-1} : \frac{4m}{10m-5} = \frac{8m}{4m^2-1} \cdot \frac{10m-5}{4m} \]
3. Разложим знаменатель \( 4m^2-1 \) как разность квадратов \( (2m-1)(2m+1) \) и вынесем общий множитель \( 5 \) из \( 10m-5 \), получим \( 5(2m-1) \).
4. Сократим дробь: \[ \frac{8m}{(2m-1)(2m+1)} \cdot \frac{5(2m-1)}{4m} = \frac{8m \cdot 5(2m-1)}{(2m-1)(2m+1) \cdot 4m} = \frac{5 \cdot 2}{2m+1} = \frac{10}{2m+1} \]

Ответ: \( \frac{10}{2m+1} \).