773 Упростите выражение: а) 1- cos² α ; б) 1 - 1; ctg α tg α - cos² α sin² α в) 1- sin α cos α ;г) tg α ctg α - cos² α

Упражнение 773

Упростите выражение:

а)

1 - \(\frac{\cos^2 \alpha}{\operatorname{ctg} \alpha \operatorname{tg} \alpha - \cos^2 \alpha}\)

\(= 1 - \frac{\cos^2 \alpha}{1 - \cos^2 \alpha} = 1 - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = 1 - \operatorname{ctg}^2 \alpha = 1 - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\)

Ответ: \(\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\)

б)

1 - \(\frac{1}{\sin^2 \alpha}\) = \(\frac{\sin^2 \alpha - 1}{\sin^2 \alpha} = \frac{-\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = -\operatorname{ctg}^2 \alpha\)

Ответ: \(-\operatorname{ctg}^2 \alpha\)

в)

\(1 - \frac{\sin \alpha \cdot \cos \alpha}{\operatorname{ctg} \alpha} = 1 - \frac{\sin \alpha \cdot \cos \alpha}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}} = 1 - \frac{\sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \sin \alpha}{\cos \alpha} = 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha\)

Ответ: \(\cos^2 \alpha\)

г)

\(\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha - \cos^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha\)

Ответ: \(\sin^2 \alpha\)