5. Упростите выражение: a) $$3\frac{3}{7}x^5y^6 \cdot (-2\frac{1}{3}x^5y)^2$$; б) $$(a^{n+1})^2: a^{2n}$$.

a) Упростим выражение: $$3\frac{3}{7}x^5y^6 \cdot (-2\frac{1}{3}x^5y)^2$$

1. Преобразуем смешанные дроби в неправильные дроби:

$$3\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{21 + 3}{7} = \frac{24}{7}$$

$$-2\frac{1}{3} = -\frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{6+1}{3} = -\frac{7}{3}$$

2. Подставим полученные значения в выражение и возведем в квадрат вторую скобку:

$$\frac{24}{7}x^5y^6 \cdot \left(-\frac{7}{3}x^5y\right)^2 = \frac{24}{7}x^5y^6 \cdot \frac{49}{9}x^{10}y^2$$

3. Упростим выражение:

$$\frac{24}{7} \cdot \frac{49}{9} \cdot x^{5+10} \cdot y^{6+2} = \frac{24 \cdot 7}{9}x^{15}y^8 = \frac{8 \cdot 7}{3}x^{15}y^8 = \frac{56}{3}x^{15}y^8 = 18\frac{2}{3}x^{15}y^8$$

a) Ответ: $$18\frac{2}{3}x^{15}y^8$$

б) Упростим выражение: $$(a^{n+1})^2: a^{2n}$$

1. Раскроем скобки:

$$(a^{n+1})^2 = a^{(n+1)\cdot 2} = a^{2n+2}$$

2. Разделим степени с одинаковым основанием:

$$a^{2n+2} : a^{2n} = a^{2n+2-2n} = a^2$$

б) Ответ: $$a^2$$