Упростите выражение: (4tga + 5ctga) · sin2a – 10cos²a

Решение:

Упростим данное выражение, используя тригонометрические тождества.

1. Запишем тангенс и котангенс через синус и косинус: \( \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \), \( \text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \).
2. Запишем синус двойного угла: \( \sin 2\alpha = 2 \sin\alpha \cos\alpha \).
3. Подставим эти тождества в исходное выражение: \( (4\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + 5\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}) \cdot 2 \sin\alpha \cos\alpha - 10 \cos^2\alpha \)
4. Приведём выражение в скобках к общему знаменателю: \( (\frac{4 \sin^2\alpha + 5 \cos^2\alpha}{\sin\alpha \cos\alpha}) \cdot 2 \sin\alpha \cos\alpha - 10 \cos^2\alpha \)
5. Сократим \( \sin\alpha \cos\alpha \) в числителе и знаменателе: \( (4 \sin^2\alpha + 5 \cos^2\alpha) \cdot 2 - 10 \cos^2\alpha \)
6. Раскроем скобки: \( 8 \sin^2\alpha + 10 \cos^2\alpha - 10 \cos^2\alpha \)
7. Сократим члены с \( \cos^2\alpha \): \( 8 \sin^2\alpha \)
8. Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \). Выражение можно записать как \( 4(2 \sin^2\alpha) \) или упростить дальше.
9. Альтернативный путь упрощения на шаге 5: \( (4 \sin^2\alpha + 4 \cos^2\alpha + \cos^2\alpha) \cdot 2 - 10 \cos^2\alpha \) = \( (4(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + \cos^2\alpha) \cdot 2 - 10 \cos^2\alpha \) = \( (4 + \cos^2\alpha) \cdot 2 - 10 \cos^2\alpha \) = \( 8 + 2 \cos^2\alpha - 10 \cos^2\alpha \) = \( 8 - 8 \cos^2\alpha \) = \( 8 (1 - \cos^2\alpha) \) = \( 8 \sin^2\alpha \).

Ответ: 8sin²α