Упростите выражение: 1) $$ \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} - \frac{b}{a + b} + \frac{b}{b - a} $$

Привет! Давай упростим это выражение вместе. Сначала приведем все дроби к общему знаменателю.

Шаг 1: Преобразуем знаменатели

• Знаменатель первой дроби: a² - b². Это разность квадратов, которую можно разложить как (a - b)(a + b).
• Знаменатель второй дроби: a + b.
• Знаменатель третьей дроби: b - a. Можно записать как -(a - b), чтобы иметь одинаковые множители с первой дробью.

Теперь наше выражение выглядит так:

• \[ \frac{a^2 + b^2}{(a - b)(a + b)} - \frac{b}{a + b} + \frac{b}{-(a - b)} \]
• \[ \frac{a^2 + b^2}{(a - b)(a + b)} - \frac{b}{a + b} - \frac{b}{a - b} \]

Шаг 2: Приводим к общему знаменателю

Общий знаменатель будет (a - b)(a + b).

• Первая дробь уже имеет этот знаменатель.
• Вторую дробь \(\frac{b}{a + b}\) умножаем на \(\frac{a - b}{a - b}\).
• Третью дробь \(\frac{b}{a - b}\) умножаем на \(\frac{a + b}{a + b}\).

Получаем:

• \[ \frac{a^2 + b^2}{(a - b)(a + b)} - \frac{b(a - b)}{(a + b)(a - b)} - \frac{b(a + b)}{(a - b)(a + b)} \]

Шаг 3: Объединяем числители

Теперь все дроби имеют одинаковый знаменатель, и мы можем вычесть и сложить числители:

• \[ \frac{(a^2 + b^2) - b(a - b) - b(a + b)}{(a - b)(a + b)} \]
• Раскроем скобки в числителе:
• \[ \frac{a^2 + b^2 - (ab - b^2) - (ab + b^2)}{(a - b)(a + b)} \]
• \[ \frac{a^2 + b^2 - ab + b^2 - ab - b^2}{(a - b)(a + b)} \]

Шаг 4: Упрощаем числитель

Сгруппируем и упростим:

• \[ \frac{a^2 + (b^2 - b^2) + (-ab - ab)}{(a - b)(a + b)} \]
• \[ \frac{a^2 - 2ab}{(a - b)(a + b)} \]

Шаг 5: Финальное упрощение

В числителе можно вынести a за скобки:

• \[ \frac{a(a - 2b)}{(a - b)(a + b)} \]

Это и есть упрощенное выражение.

Ответ: \(\frac{a(a - 2b)}{(a - b)(a + b)}\)