Упростите выражение 1/3 + x^(-1) ----------------- 9 - (1/x)^(-2) : ((3 - x)^(-1) / 3^(-2) + 3x^(-1) - 2). Ответ запишите без степеней с отрицательным показателем. Найдите его значение при x = -1/3.

Упрощение выражения:

1. Шаг 1: Преобразуем выражение, используя свойства степеней:

• \( x^{-1} = \frac{1}{x} \)
• \( 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \)

2. Шаг 2: Перепишем выражение с учетом этих преобразований:

\[\frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{x}}{9 - x^2} : (\frac{\frac{1}{3-x}}{\frac{1}{9}} + \frac{3}{x} - 2)\]

3. Шаг 3: Упростим числитель и знаменатель первой дроби:

\[\frac{\frac{x + 3}{3x}}{9 - x^2} = \frac{x + 3}{3x(9 - x^2)}\]\[\frac{x + 3}{3x(3 - x)(3 + x)} = \frac{1}{3x(3 - x)}\]

4. Шаг 4: Упростим выражение в скобках:

\[\frac{\frac{1}{3 - x}}{\frac{1}{9}} + \frac{3}{x} - 2 = \frac{9}{3 - x} + \frac{3}{x} - 2\]\[\frac{9x + 3(3 - x) - 2x(3 - x)}{x(3 - x)} = \frac{9x + 9 - 3x - 6x + 2x^2}{x(3 - x)}\]\[\frac{2x^2 + 9}{x(3 - x)}\]

5. Шаг 5: Разделим первую дробь на вторую:

\[\frac{1}{3x(3 - x)} : \frac{2x^2 + 9}{x(3 - x)} = \frac{1}{3x(3 - x)} \cdot \frac{x(3 - x)}{2x^2 + 9}\]\[\frac{1}{3(2x^2 + 9)}\]

Подстановка значения x = -1/3:

1. Шаг 6: Подставим \( x = -\frac{1}{3} \) в упрощенное выражение:

\[\frac{1}{3(2(-\frac{1}{3})^2 + 9)} = \frac{1}{3(2(\frac{1}{9}) + 9)}\]\[\frac{1}{3(\frac{2}{9} + 9)} = \frac{1}{3(\frac{2 + 81}{9})} = \frac{1}{3(\frac{83}{9})}\]\[\frac{1}{\frac{83}{3}} = \frac{3}{83}\]

Ответ: 3/83