- Упростите выражение 1 + cos 4x tg (3π - 2x)

Упростим выражение: \[1 + \frac{\cos 4x}{\operatorname{tg}(\frac{3\pi}{4} - 2x)}\] Сначала разберемся с тангенсом. Используем формулу тангенса разности: \[\operatorname{tg}(a - b) = \frac{\operatorname{tg} a - \operatorname{tg} b}{1 + \operatorname{tg} a \operatorname{tg} b}\] В нашем случае, \(a = \frac{3\pi}{4}\) и \(b = 2x\). \(\operatorname{tg} \frac{3\pi}{4} = -1\). \[\operatorname{tg}(\frac{3\pi}{4} - 2x) = \frac{-1 - \operatorname{tg} 2x}{1 - \operatorname{tg} 2x}\] Теперь подставим это в исходное выражение: \[1 + \frac{\cos 4x}{\frac{-1 - \operatorname{tg} 2x}{1 - \operatorname{tg} 2x}} = 1 + \cos 4x \cdot \frac{1 - \operatorname{tg} 2x}{-1 - \operatorname{tg} 2x}\] Умножим числитель и знаменатель на -1: \[1 - \cos 4x \cdot \frac{1 - \operatorname{tg} 2x}{1 + \operatorname{tg} 2x}\] Используем формулу для \(\cos 4x\): \(\cos 4x = \cos^2 2x - \sin^2 2x\). И формулу для \(\operatorname{tg} 2x\): \(\operatorname{tg} 2x = \frac{\sin 2x}{\cos 2x}\). \[1 - (\cos^2 2x - \sin^2 2x) \cdot \frac{1 - \frac{\sin 2x}{\cos 2x}}{1 + \frac{\sin 2x}{\cos 2x}} = 1 - (\cos^2 2x - \sin^2 2x) \cdot \frac{\frac{\cos 2x - \sin 2x}{\cos 2x}}{\frac{\cos 2x + \sin 2x}{\cos 2x}}\] \[1 - (\cos^2 2x - \sin^2 2x) \cdot \frac{\cos 2x - \sin 2x}{\cos 2x + \sin 2x} = 1 - (\cos 2x + \sin 2x)(\cos 2x - \sin 2x) \cdot \frac{\cos 2x - \sin 2x}{\cos 2x + \sin 2x}\] \[1 - (\cos 2x - \sin 2x)^2 = 1 - (\cos^2 2x - 2 \sin 2x \cos 2x + \sin^2 2x) = 1 - (1 - 2 \sin 2x \cos 2x) = 2 \sin 2x \cos 2x = \sin 4x\]

Ответ: \(\sin 4x\)

Ответ: \(\sin 4x\)